Stetigkeit in von g in (0,0)? (Mehrdimensionale Analysis)

Question

Funktion

\( g(x, y):=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\left(3 x^{2} y-y^{3}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x\left(x^{3} y-x y^{3}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)

 Wie zeigt man dass die Funktion in (0,0) stetig ist.

Answer 1

Hallo,

der Quotient sieht schon echt schlimm aus. Mit Polarkoordinanten \(r^2=x^2+y^2\), \(x=r\cos(\varphi)\) und \(y=r\sin(\varphi)\) kann man vielleicht etwas aufräumen:$$\begin{aligned}&=\frac{\left(3 x^{2} y-y^{3}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x\left(x^{3} y-x y^{3}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\&=\frac{r^5(3\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)-\sin^3(\varphi))-2r^5\cos(\varphi)(\sin^3(\varphi)\cos(\varphi)-\cos^3(\varphi)\sin(\varphi)}{r^4}\\ &=\frac{r^5(3\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)-\sin^3(\varphi)-2\sin^3(\varphi)\cos^2(\varphi)-\cos^4(\varphi)\sin(\varphi))}{r^4}  \\& =r(3\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)-\sin^3(\varphi)-2\sin^3(\varphi)\cos^2(\varphi)-\cos^4(\varphi)\sin(\varphi))  \xrightarrow{r\to 0} 0\end{aligned}$$ Damit ist \(f\) in der Tat in \((0,0)\) stetig, da der Grenzwert nicht von \(\varphi\), also vom Winkel, abhängt.