Problem bei Gleichung aufstellen

Question

ich habe in Mathe eine Aufgabe bekommen, leider komm ich einfach nicht weiter.

Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 13.  Vertauscht man ihre Ziffern, so entsteht eine Zahl , die um 4 kleiner ist als das doppelte der ersten Zahl.

Also die 1. Gleichung ist x+y=13

Aber danach komm ich nicht mehr ganz weiter. Meine Vermutung war

y+x=z aber was kommt dann?

Answer 1

Aloha :)

Die erste Ziffer der gesuchten Zahl $z$ sei $x$ und die zweite Ziffer sei $y$. Dann gilt:$$z=10\cdot x+y$$Die Quersumme der beiden Ziffern ist $13$ heißt:$$x+y=13$$Die zweite Bedinung ist etwas fummeliger:$$\underbrace{10\cdot y+x}_{\text{Ziffern vertauscht}}=\underbrace{2\cdot(10\cdot x+y)}_{\text{Das Doppelte der 1. Zahl}}-4$$Diese zweite Bedingung vereinfachen wir:$$\left.10\cdot y+x=2\cdot(10\cdot x+y)-4\quad\right|\;\text{Rechts ausrechnen}$$$$\left.10y+x=20x+2y-4\quad\right|\;-20x$$$$\left.10y-19x=2y-4\quad\right|\;-2y$$$$\left.8y-19x=-4\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$19x-8y=4$$Jetzt haben wir ein schönes Gleichungssystem:

$$\left(\begin{array}{r}x & y & =\\\hline1 & 1 & 13\\19 & -8 & 4\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\-19\cdot\text{Zeile }1\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & =\\\hline1 & 1 & 13\\0 & -27 & -243\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\:(-27)\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & =\\\hline1 & 1 & 13\\0 & 1 & 9\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{-\text{Zeile }2}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & =\\\hline1 & 0 & 4\\0 & 1 & 9\end{array}\right)$$Wir haben also $x=4$ und $y=9$. Die gesuchte Zahl ist $\boxed{49}$.

Answer 2

Die Zahl ist 10x+y

Die Zahl mit vertauschten Ziffern ist dann 10y+x

(2. Gleichung): 10y+x+4=2·(10x+y)