aber es wird sie meines Erachtens in komplizierter Form geben, keine Standardfunktion aber trotzdem
Ich denke, du meinst zusammengesetzte Funktionen, die stückweise auf einem Intervall definiert sind. Die könnten ja so aussehen:
$$ f: \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto \begin{cases}f_1(x), x\in [x_1,x_2[\\f_2(x), x\in [x_2,x_3[\\\vdots\\ f_n(x), x\in [x_n,x_{n+1}] \end{cases} $$, wobei hier für alle fk die Stetigkeit und mindestens n-mal Differenzierbarkeit auf dem Intervall vorausgestzt ist, weiter auch \(f_i\neq f_j\) gilt und insbesondere an den Rändern der Intervalle \(f_i(r)=f_{i+1}(r) \) und \(f'_i(r)=f'_{i+1}(r) \) gilt.
den Übergang zur linearen bekommt man nicht aus der Information der Steigung am Punkt 0.
Wirst du auch nicht, weil du ja mit deiner Parabel arbeitest, welche du mit einem Taylorpolynom annähern willst. Und deine Parabel ist nur bis x=5 definiert. Danach kann sonst was passieren. Hättest du andersherum bei deiner linearen Funktion angefangen (Ich weiß, Taylor wäre hier ziemlich unnötig, aber es geht um das Prinzip...), dann würdest du auch keine Information über deine Parabel erhalten.
Daher wird es auch nicht möglich sein, für eine zusammengesetzte Funktion genau eine Taylorreihe zu finden.