Grenzen bei der Erschaffung von Taylorreihen

Question

Generell ist es mir schon öfters in den Sinn gekommen, dass Taylorreihen nicht immer gebildet werden können.

Eine wilde Funktion beispielsweise: eine Funktion die bis zu z.B punkt 5 auf der X Achse Quadratisch verläuft, sich dann aber ohne zu knicken in eine lineare umwandelt. (Ich kann diese Funktion zwar nicht bilden, aber es wird sie meines Erachtens in komplizierter Form geben, keine Standardfunktion aber trotzdem)

Wenn man jetzt ableitet an der Stelle Null, um eine Taylorreihe zu bilden, wird man scheitern, denn die Informationen ergeben nur eine Normale quadratische Funktion, den Übergang zur linearen bekommt man nicht aus der Information der Steigung am Punkt 0.

Gibt es eine allgemeine Regel wann eine Taylorreihe nicht möglich ist, anhand der fehlenden Informationen, die die Steigungen/Ableitungen an Punkt z.b Punkt 0 geben?

Answer 1

aber es wird sie meines Erachtens in komplizierter Form geben, keine Standardfunktion aber trotzdem

Ich denke, du meinst zusammengesetzte Funktionen, die stückweise auf einem Intervall definiert sind. Die könnten ja so aussehen:

$$ f: \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto \begin{cases}f_1(x), x\in [x_1,x_2[\\f_2(x), x\in [x_2,x_3[\\\vdots\\ f_n(x), x\in [x_n,x_{n+1}]  \end{cases} $$, wobei hier für alle f_k die Stetigkeit und mindestens n-mal Differenzierbarkeit auf dem Intervall vorausgestzt ist, weiter auch \(f_i\neq f_j\) gilt und insbesondere an den Rändern der Intervalle \(f_i(r)=f_{i+1}(r) \) und  \(f'_i(r)=f'_{i+1}(r) \) gilt.

den Übergang zur linearen bekommt man nicht aus der Information der Steigung am Punkt 0.

Wirst du auch nicht, weil du ja mit deiner Parabel arbeitest, welche du mit einem Taylorpolynom annähern willst. Und deine Parabel ist nur bis x=5 definiert. Danach kann sonst was passieren. Hättest du andersherum bei deiner linearen Funktion angefangen (Ich weiß, Taylor wäre hier ziemlich unnötig, aber es geht um das Prinzip...), dann würdest du auch keine Information über deine Parabel erhalten.

Daher wird es auch nicht möglich sein, für eine zusammengesetzte Funktion genau eine Taylorreihe zu finden.

Comments

Hab ich mir ehrlich gesagt sehr ähnlich vorgestellt, Danke dir!