Aloha :)
Bevor du deine Gleichung auf beiden Seiten qudrierst, lautet sie:$$x-1=\sqrt{1-2x}$$Da eine Wurzel immer \(\ge0\) ist, folgt aus der linken Seite:$$x-1\ge0\quad\Leftrightarrow\quad x\ge1$$Damit die Wurzel rechts gezogen werden kann, muss gelten:$$1-2x\ge0\quad\Leftrightarrow\quad 1\ge 2x\quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{2}\ge x\quad\Leftrightarrow\quad x\le\frac{1}{2}$$Die Lösung \(x\) kann aber nicht \(\ge1\) und \(\le\frac{1}{2}\) gleichzeitig sein. Es kann also keine Lösung für diese Gleichung geben.
Nach dem Quadrieren lautet deine Gleichung:$$(x-1)^2={1-2x}$$Nun sind die Einschränkungen für \(x\) von oben verschwunden. Die linke Seite ist immer \(\ge0\) und die rechte Seite ist für alle \(x\in\mathbb R\) definiert. Durch das Quadrieren haben sich die Definitionsmenge und die Wertemenge beider Seiten der Gleichung geändert. Daher bekommst du eine Lösung für das Gleichungssystem in den geänderten Mengen, die aber keine Lösung der ursprünglichen Aufgabe ist.
Deswegen gibt es die wichtige Regel, dass man bei Gleichungen stets die Probe machen sollte, wenn Wurzeln in irgendeiner Weise beteiligt sind.
