Kann ein Pkt. in einer Ebene liegen?

Question

Pkt: a| -a | 2a+2

E: x= (2 1 1 ) +r ( 1 1 0 ) + s ( -1 1 1)
Kann der Pkt. in der Ebene liegen?

Gedanken: ich stelle ein Gleichungssystem auf und löse es

I a= 2 + r - s

II -a = 1 + r + s

III 2a+2=1+s

aus I => a - r - s = 2
aus II => - a - r - s = 1
aus III => 2a-s = 1

LGS mit dem TR lösen: a=1/2 r=-3/2 s=0

Ist der Ansatz richtig? bringt mir diese Lösung irgendwas? oder muss ich anders vorgehen

Answer 1

Aloha :)

Hier ist es vermutlich einfacher, die Koordinatengleichung der Ebene zu verwenden:

$$\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\quad;\quad \vec n\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}=3$$$$E:\;x-y+2z=3$$Jetzt kannst du den fraglichen Punkt \((a|-a|2a+2)\) bequem einsetzen:

$$3=a-(-a)+2(2a+2)=a+a+4a+4=6a+4$$$$\Rightarrow\quad6a=-1\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{1}{6}$$

In deiner ersten und dritten Gleichungen haben sich kleine Fehler eingeschlichen:$$a-r+s=2$$$$2a-s=-1$$

Comments

Hallo
Ich hatte das mit der Koordinatengleichung noch nie, können Sie mir erklären, wie man dazu kommt?