Satz 3.2.10 beweisen Matrizen

Question

Aufgabe:

Satz \( 3.2 .10 . \) In der Situation von Definition 3.2 .8 ist
$$ M_{a}^{b}: \operatorname{Hom}_{K}(W, V) \rightarrow \mathscr{M}_{m, n}(K), \quad f \mapsto M_{a}^{b}(f) $$
ein \( K \) -Vektorraum-Isomorphismus, also Hom \( _{K}(W, V) \cong \mathscr{M}_{m, n}(K) \). 

Ausgeschrieben bedeutet das: Für alle \( f, g \in \operatorname{Hom}_{K}(W, V) \) und alle \( \lambda \in K \) gelten
$$ \begin{aligned} M_{a}^{b}(f+g) &=M_{a}^{b}(f)+M_{a}^{b}(g), \\ M_{a}^{b}(\lambda f) &=\lambda M_{a}^{b}(f) \end{aligned} $$

Kann mir jemand bitte diesen Satz beweisen?

Comments

Aloha :)

Wie ist denn \(M_a^b(f)\) definiert? Hier soll also vermutlich die Linearität der Abbildung \(M_a^b(f)\) nachgewiesen werden...

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Ja die Matrix Mab(f) ist definiert als

(0 -1 0)

(2 0 5)

(0 1 0)

Also eine große Klammer und die Elemente so positioniert wie ich geschrieben hab. Eine 3 x 3 Matrix halt :)

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Hilft dir das weiter?

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Ich kenne Definition 3.2.8 nicht. Was ist \(W\) und was ist \(V\)?

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Seien W ein K-Vektorraum und b = (b1,...,bn) eine endliche Basis von W. Weiter seien V ein K-Vektorraum und a=(a1,...,am) eine endliche Basis von V. 

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Kannst du damit was anfangen?

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe einfach nur \(M\) für die Abbildungsmatrix \(M_a^b\). Seien im Folgenden \(f,g\) lineare Abbildungen aus \(\operatorname{Hom}_K(W,V)\) und sei \(\lambda\in K\). Dann gilt für jede Komponente \(i=1,2,\ldots,m\) des Bildes:

$$M(f+g)_i=\sum\limits_{k=1}^{n}M_{ik}\cdot(f+g)_k=\sum\limits_{k=1}^{n}M_{ik}\cdot f_k+\sum\limits_{k=1}^{n}M_{ik}\cdot g_k=M(f)_i+M(g)_i$$$$M(\lambda f)_i=\sum\limits_{k=1}^{n}M_{ik}\cdot(\lambda f)_k=\lambda\sum\limits_{k=1}^{n}M_{ik}\cdot f_k=\lambda\,M(f)_i$$

Comments

Ich danke dir tausend Mal!!!

:)