Aloha :)$$f_a:\;\mathbb{R}\to\mathbb R^+,\;x\mapsto a^x\quad;\quad a>0\;;\;a\ne1$$a1) Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Wir betrachten 2 gleiche Funktionswerte \(f(u)=f(v)\) und zeigen, dass dann auch \(u=v\) sein muss:$$f(u)=f(v)\;\Rightarrow\;a^u=a^v\;\Rightarrow\;\ln(a^u)=\ln(a^v)\;\Rightarrow\;u\ln(a)=v\ln(a)\;\Rightarrow\;u=v$$a2) Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Wir wählen einen Funktionswert \(y\in\mathbb R^+\) und zeigen, dass es ein \(x\in\mathbb R\) gibt, das darauf abbildet:$$a^x=y\;\Leftrightarrow\;\ln(a^x)=\ln(y)\;\Leftrightarrow\;x\ln(a)=\ln(y)\;\Leftrightarrow\;x=\frac{\ln(y)}{\ln(a)}$$Die Funktion ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.
b) Die Umkehrfunktion haben wir in a2) bereits hergeleitet:$$\log_a:\,\mathbb R^+\to\mathbb R,\,x\mapsto\frac{\ln x}{\ln a}$$
~plot~ 0,33^x ; 0,5^x ; 2^x ; 3^x ; [[-6|6|0|8]] ~plot~
~plot~ ln(x)/ln(0,33) ; ln(x)/ln(0,5) ; ln(x)/ln(2) ; ln(x)/ln(3) ; [[0|6|-4|4]] ~plot~
