Aufgabe zu der Kettenregel

Question

ich habe gerade versucht, die Ableitung der Funktion $$f(x) = sin(\frac{2\pi}{1+x^2})$$ zu berechnen, muss aber irgendwo einen Fehler gemacht haben, den ich nicht finden kann.

Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn sich jemand meine Lösung ansehen könnte.

$$f(x) = sin(\frac{2\pi}{1+x^2}) => u(x) = sin(\frac{2\pi}{x}); v(x) = 1 + x^2$$

$$u'(x): y(x) = sin(x); z(x) =  \frac{2\pi}{x} => y'(x) = cos(x); z'(x) = \frac{-2\pi}{x^2}$$

$$=> u'(x) = y'(z(x) * z'(x) = cos(\frac{2\pi}{x}) * (\frac{-2\pi}{x^2})$$

$$v'(x) = 2x$$

$$f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) = \frac{-2\pi}{4x^2} * cos(\frac{2\pi}{2x})$$

Answer 1

u = sinz -> u'= cosz , z= 2pi/(1+x^2)

v= 2pi/(1+x^2)= 2pi*(1+x^2)^(-1) -> v'= 2pi*((-1)*(1+x^2)^(-2)*2x = -4*pi*x*(1+x^2)^(-2)

...

Comments

Das verstehe ich, aber bei verketteten Funktionen gibt es ja normalerweise mehrere Möglichkeiten. Wo liegt denn mein Fehler?

Answer 2

Aloha :)

Oha, ich fürchte, du machst es dir unnötig schwer...$$f'(x)=\left[\sin\left(\frac{2\pi}{1+x^2}\right)\right]'=\cos\left(\frac{2\pi}{1+x^2}\right)\cdot\left[\frac{2\pi}{1+x^2}\right]'$$$$\phantom{f'(x)}=2\pi\cos\left(\frac{2\pi}{1+x^2}\right)\left[(1+x^2)^{-1}\right]'$$$$\phantom{f'(x)}=2\pi\cos\left(\frac{2\pi}{1+x^2}\right)(-1)(1+x^2)^{-2}\left[1+x^2\right]'$$$$\phantom{f'(x)}=2\pi\cos\left(\frac{2\pi}{1+x^2}\right)(-1)(1+x^2)^{-2}2x=-\frac{4\pi\,x}{(1+x^2)^2}\cos\left(\frac{2\pi}{1+x^2}\right)$$