Mathematik - Sachverhalte beweisen

Question

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - ich konnte beide Aufgaben rechnerisch lösen, jedoch die Teilaufgaben b) der jeweiligen Funktionen ''nicht'' beweisen.

I. Weshalb besitzt die Funktion f mit f(x) = 0,5x^2 - 2x am Punkt P1(2|-2) ein globales Minimum?

-> Meine Vermutung wäre gewesen, da die Funktion f eine positive Steigung besitzt und nur in den Quadranten 1 und 2 ''fortläuft''. ( + lim f(x) = unendlich geht  d.h. sie steigt unbeschränkt)

II. Wie kann ich beweisen, dass beim Punkt P2(0|-4) der Funktion f mit f(x) = -1/4x^4 + x^3 -4 ein Sattelpunkt vorliegt?

-> Meine Vermutung wäre gewesen, dass an diesem Punkt - ähnlich wie bei einem Extrempunkt - die Steigung m = 0 ist. Jedoch - und dies ist bei Extrempunkten nicht der Fall - steigt der Graph sowohl vor als auch nach dem Sattelpunkt.

Vielen Dank.

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Fehler behoben.

Answer 1

I. Weshalb besitzt die Funktion f mit f(x) = 0,5x^2 - 2x am Punkt P1(2|-2) ein globales Minimum?

Hier kannst du viele Beweismethoden nutzen. Forme z.B. in die Scheitelpunktform um

f(x) = 0,5x^2 - 2x
f(x) = 0,5(x^2 - 4x)
f(x) = 0,5(x^2 - 4x + 4 - 4)
f(x) = 0,5(x^2 - 4x + 4) - 2
f(x) = 0,5(x - 2)^2 - 2 → Scheitelpunkt (2 | -2) dre nach oben geöffneten Parabel ist ein globales Minimum

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II. Wie kann ich beweisen, dass beim Punkt P2(0|-4) der Funktion f mit f(x) = -1/4x4 + x3 -4 ein Sattelpunkt vorliegt?

f(x) = - 1/4·x^4 + x^3 - 4

Hier könntest du zeigen das der Funktionswert an der Stelle 0 -4 ist. Werter das die erste Ableitung als Maß der Steigung an der Stelle 0 eine doppelte Nullstelle hat. Also eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

f(0) = - 1/4·x^4 + x^3 - 4 = -4 → das war leicht

f'(x) = - x^3 + 3·x^2 = x^2·(- x + 3)

Nach dem Satz vom Nullprodukt eine doppelte Nullstelle bei x = 0 und eine einfache Nullstelle bei 3. Auch das solltest du hinbekommen.

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I. Weshalb besitzt die Funktion f mit f(x) = 0,5x2 - 2x am Punkt P1(2|-2) ein globales Minimum?
Hier kannst du viele Beweismethoden nutzen. Forme z.B. in die Scheitelpunktform um

f(x) = 0,5x2 - 2x
f(x) = 0,5(x2 - 4x)
f(x) = 0,5(x2 - 4x + 4 - 4)
f(x) = 0,5(x2 - 4x + 4) - 2
f(x) = 0,5(x - 2)2 - 2 → Scheitelpunkt (2 | -2) dre nach oben geöffneten Parabel ist ein globales Minimum

Danke - kann man ein grundsätzliches Minimum damit immer beweisen?

Sprich, wenn ich den Scheitelpunkt ermittle, so habe ich - sofern der Graph der Funktion f steigt - das globale Minimum heraus?

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Sprich, wenn ich den Scheitelpunkt ermittle, so habe ich - sofern der Graph der Funktion f steigt - das globale Minimum heraus?

Erstmal gilt das nicht grundsätzlich sondern nur für Parabeln. und auch nicht wenn die Funktion steigt sondern wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.

Aber ich habe dieses Weg bei Parabeln gewählt weil das der Typische Weg in der Mittelstufe ist den Scheitelpunkt zu bestimmen.

Du bist jetzt sicher in der 10./11. Klasse und dürftet auch Ableitungen benutzen. Dann gibt es da auch einen anderen Weg.

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f(x) = - 1/4·x4 + x3 - 4
Hier könntest du zeigen das der Funktionswert an der Stelle 0 -4 ist. Werter das die erste Ableitung als Maß der Steigung an der Stelle 0 eine doppelte Nullstelle hat. Also eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

f(0) = - 1/4·x4 + x3 - 4 = -4 → das war leicht
f'(x) = - x3 + 3·x2 = x2·(- x + 3)

Nach dem Satz vom Nullprodukt eine doppelte Nullstelle bei x = 0 und eine einfache Nullstelle bei 3. Auch das solltest du hinbekommen.

Rechnerisch hätte ich dann diese Nullstellen heraus - aber wie kann ich damit den Sattelpunkt beweisen?

Den Punkt haben wir erst vor kurzem kennengelernt - heißt, ein ehemaliger Sattelpunkt wird zu einer doppelten Nullstelle?

Und inwiefern hilft mir dabei der Punkt (0|3)?

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Erstmal gilt das nicht grundsätzlich sondern nur für Parabeln. und auch nicht wenn die Funktion steigt sondern wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.

Aber ich habe dieses Weg bei Parabeln gewählt weil das der Typische Weg in der Mittelstufe ist den Scheitelpunkt zu bestimmen.

Du bist jetzt sicher in der 10./11. Klasse und dürftet auch Ableitungen benutzen. Dann gibt es da auch einen anderen Weg.

Wie könnte man den Punkt denn über eine Ableitung beweisen?

Wir haben vor kurzem mit Ableitungen begonnen - und damit auch mit Sattelpunkten.

Jedoch weiß ich nicht, wie ich den Punkt ''erklären'' könnte.

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Bei einer Parabel muss im Scheitelpunkt die Ableitung eine Nullstelle haben. Dies ist bei einer linearen Funktion immer eine einfache Nullstelle weshalb das immer ein Hoch- oder Tiefpunkt sein muss. Die Notwendige Bedingung braucht man nicht. An der Öffnung der Parabel oder auch an dem Vorzeichenwechsel der Ableitung kannst du Hoch oder Tiefpunkt unterscheiden.

Allerdings musst du dann auch noch die y-Koordinate nachweisen. Aber dazu brauchst du nur in die Funktion einsetzen.

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Ich fasse jetzt einmal alles zusammen - sofern es erlaubt ist.

I. Um den Tiefpunkt zu ermitteln, kann ich - neben der Ableitung - den Scheitelpunkt errechnen. Dieser führt mich dann - weil es in jenem Fall eine lineare Funktion ist - zur Nullstelle.

Jedoch ist mir nicht wirklich klar geworden, wie ich es nun begründen kann, dass es sich hierbei um ein globales Minimum und kein lokales Minimum handelt? War meine oben angegebene Begründung richtig?

II. Den Sattelpunkt kann ich damit begründen, dass sich - sofern man die Ableitung nimmt - an diesem Punkt eine doppelte Nullstelle bildet?

Habe ich es damit richtig verstanden - oder wie ist es gemeint?

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Du bringst da zu viele Dinge durcheinander. Vergiss von mir aus mal die Scheitelpunktform und konzentriere dich mehr auf die Ableitung. Die Grundlagen der Parabel kannst du dann später nochmal nachlernen.

Damit der Punkt (2 | -2) einer PARABEL ein Minimum ist muss gelten

f(2) = -2 → Bedingung für den Funktionswert

f'(2) = 0 mit Vorzeichenwechsel von - nach +

f''(2) > 0

Dabei ist der Vorzeichenwechsel oder die zweite Ableitung das hinreichende Kriterium. Von Lehrern wird oft die zweite Ableitung bevorzugt.

Answer 2

f(x) = 0,5x^2 - 2x am Punkt P1(2|-2) ein globales Minimum?

f ´( x ) = x - 2
f ´( 2 ) = 0    | Extremstelle
f ( 2 ) = 2 - 2*2 = -2

Der Punkt ( 2 | -2 ) liegt auf der Kurve und hat die
Steigung 0.
Bei der Funktion handelt es sich um eine Parabel.
Diese hat nur einen Extrempunkt.
Die Parabel ist nach oben hin geöffnet.
Der Punkt ist ein Minimum.

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Danke -  aber ein globales Minimum, oder?

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Sattelpunkt : Steigung 0
Krümmung 0

Wie kann ich beweisen, dass beim Punkt P2(0|-4) der Funktion f mit f(x) = -1/4x^4 + x^3 -4 ein Sattelpunkt vorliegt?

f(0) = -1/4*0^4 + (0)^3 -4 = -4
( 0 | -4 ) liegt schon einmal auf der Kurve

f ( x ) = -1/4x^4 + x^3 -4
f ´ ( x ) = -x^3 + 3*x^2
f ´ ( 0 ) = -(0)^3 + 3*(0)^2 = 0
Steigung = 0

f ´´ ( x ) = -3*x^2 + 6*x
f ´´ ( 0 ) = -3*x^2 + 6*x = 0
Krümmung = 0

Der Punkt ist ein Sattelpunkt.

kleiner Fehlerhinweis
Jedoch - und dies ist bei Extrempunkten nicht der Fall - steigt der Graph sowohl vor als auch nach dem Sattelpunkt.
Kann beidseitig steigend sein, aber auch beidseitig fallend.

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Danke -  aber ein globales Minimum, oder?

Einen tieferen Punkt kann eine Parabel nicht
haben. Verlauf der Kurve
plus unendlich - Minimum - plus unendlich

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Okay, herzlichen Dank.

Genügt es - um einen Sattelpunkt zu beweisen - nur die ersten zwei Ableitungen zu machen?

Oder soll man vorsichtshalber zeigen, dass die dritte Ableitung <> 0 wäre und durch den Punkt x = 1 geht.

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Bei mir haben 2 Ableitungen als Beweis
genügt.

Es gibt auch seltenere Fälle bei denen eine 3.
Ableitung oder noch mehr vonnöten ist.
Und dann gibt es auch noch Flachpunkte.