Question

Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Bei W(1;3) hat sie einen Wendepunkt und dort die Steigung -2

Answer 1

Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist. Bei W\((1|3) \)hat sie einen Wendepunkt und dort die Steigung \(m=-2\)

W\((1|3) \)↓ W´\((1|0) \) einfache Nullstelle

Symmetriebedingt  W\((-1|3) \)↓ W´\((-1|0) \) einfache Nullstelle

\(f(x)=a(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)\\=a(x^4-N^2x^2-x^2+N^2)\)

\(f'(x)=a(4x^3-2N^2x-2x)\)

\(f''(x)=a(12x^2-2N^2-2)\)

W\((1|...) \)

\(f''(1)=a(12-2N^2-2)=a(10-2N^2)=0\)

\(N^2=5\)

\(f(x)=a(x^4-6x^2+5)\)

Steigung \(m=-2\) bei W\((1|...) \)

\(f'(1)=a(4-12)=-8a=-2\)

\(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}(x^4-6x^2+5)\)

↑  \(p(x)=\frac{1}{4}(x^4-6x^2+5)+3\)

Answer 2

Benutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Answer 3

Aloha :)

Symmetriie zur y-Achse bedeutet, dass die Funktion nur \(x\) mit geraden Exponenten enthält:$$y(x)=ax^4+bx^2+c$$$$y'(x)=4ax^3+2bx$$$$y''(x)=12ax^2+2b$$Aus dem Wendepunkt \(W(1|3)\) mit der Steigung \(-2\) erhalten wir 3Gleichungen:$$\begin{array}{r}3&=&y(1)&=&a+b+c\\-2&=&y'(1)&=&4a+2b\\0&=&y''(1)&=&12a+2b\end{array}$$Daraus resultiert das Gleichungssystem:$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 1 & 1 & 3\\4 & 2 & 0 & -2\\12 & 2 & 0 & 0\end{array}\right)\begin{array}{}\\{}\\{-4\cdot\text{Zeile }1}\\{-12\cdot\text{Zeile }1}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 1 & 1 & 3\\0 & -2 & -4 & -14\\0 & -10 & -12 & -36\end{array}\right)\begin{array}{}\\{}\\{:(-2)}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2 & 7\\0 & -10 & -12 & -36\end{array}\right)\begin{array}{}\\{-\text{Zeile }2}\\{}\\{+10\cdot\text{Zeile }2}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 0 & -1 & -4\\0 & 1 & 2 & 7\\0 & 0 & 8 & 34\end{array}\right)\begin{array}{}\\{}\\{}\\{:8}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 0 & -1 & -4\\0 & 1 & 2 & 7\\0 & 0 & 1 & 4,25\end{array}\right)\begin{array}{}\\{+\text{Zeile }3}\\{-2\cdot\text{Zeile }3}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 0 & 0 & 0,25\\0 & 1 & 0 & -1,5\\0 & 0 & 1 & 4,25\end{array}\right)$$Die Funktion lautet also:$$y(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+\frac{17}{4}$$

~plot~ 1/4*x^4-3/2*x^2+17/4 ; [[-3,5|3,5|0|10]] ~plot~