n-te Ableitung natürlicher Logarithmus

Question

Hallo, ich möchte dir n-te Ableitungsformel für folgende Funktion bestimmen: f(x)=ln\( \frac{a+x}{a-x} \)   (a∈R).

Als erstes hab ich die ersten paar Ableitungen bestimmt: (Nenne jetzt aber nur die ersten 3)

f1(x) = -\( \frac{2a}{x^2-a^2} \)

f2(x) = \( \frac{4ax}{(x^2-a^2)^2} \)

f3(x) = -\( \frac{4a(3x^2+a^2)}{(x^2-a^2)^3} \)

Schnell erkennt man, dass der Nenner der n-ten Ableitung (x²-a²)ⁿ lauten muss und vor dem Bruch der n-ten Ableitung (-1)ⁿ steht.
Beim Zähler komm ich aber jetzt nicht weiter, kann mir da jemand helfen?

Answer 1

f(x) = ln((a + x) / (a - x)) = ln(a + x) - ln(a - x)

f'(x) = 1/(a + x) + 1/(a - x)

f''(x) = - 1/(a + x)^2 + 1/(a - x)^2

f'''(x) = 2/(a + x)^3 + 2/(a - x)^3

f''''(x) = - 6/(a + x)^4 + 6/(a - x)^4

Jetzt solltest du eine schöne gesetzmäßigkeit erkennen

fⁿ = (n - 1)!/(a - x)^n - (-1)^n·((n - 1)!/(a + x)^n)

Answer 2

fa(x)=ln((a+x)/(a-x)=ln(a+x)-ln(a-x)

Kettenregel f´(x)=z´*f(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung

Substitution (ersetzen) z=a+x abgeleitet z´=dz/dx=1

f(z)=ln(z) → f´(z)=1/z

f´1a(x)=z´*f´(z)=1/(a+x)

f2a(x)=ln(a-x)  z=a-x  → z´=dz/dx=-1  f(z)=ln(z) → f´(z)=1/z

f´2a(x)=-1/(a-x)

f´a(x)=1/(a+x)-*(-1)/(a-x)=1/(a+x)+1/(a-x)

Probe=Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1

an der Stelle x1=1  und a=2

y1=f(1)=ln((2+1)/(2-1)=ln(3)=1,09861228..

x2=1,01 

y2=ln(2+1,01)/(2-1,01))=1,111990..

m=(1,11199-1,0986123)/(0,01)=1,3377..

f´(1)=1/(2+1)+1/(2-1)=1/3+1=1/3+3/3=4/3=1,333 stimmt also ziemlich genau

Bedeutet:Deine 1.te Ableitung ist falsch