Parameter bestimmen, sodass Vektoren den angegebenen Winkel einschließen

Question

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Gegeben sind folgende Vektoren:

\( \vec{a} \) : \( \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} \):\( \begin{pmatrix} -5\\x\\3 \end{pmatrix} \) , die den Winkel α=75° einschließen. Nun soll x bestimmt werden.

\( \frac{a}{b} \)

Mein Ansatz war der Kosinussatz ,,rückwärts", sprich

cos(75)= \( \frac{\begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -5\\x\\3 \end{pmatrix} }{|\begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -5\\x\\3 \end{pmatrix}|} \)

also komme ich bei cos(75) =  \( \frac{-7+4x}{\sqrt{680+x2} } \)  an.

Wenn ich dann mit dem Nenner multipliziere, bin ich bei: -7+4x = (gerundet!) 6,74917 + √x²

Das Quadriert ergibt 49+4x^{2 =} 45,5514 + x²

Also wäre x≅ ± 6,87

Das ist aber falsch.....

Wo liegt der Fehler? 

Ich bin dankbar für jede Hilfe!!

Answer 1

Du hast  \(\frac{\begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -5\\x\\3 \end{pmatrix} }{|\begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -5\\x\\3 \end{pmatrix}|}\) geschrieben. Da muss aber \(\frac{\begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -5\\x\\3 \end{pmatrix} }{|\begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix}| * |\begin{pmatrix} -5\\x\\3 \end{pmatrix}|}\) stehen.

Comments

Stimmt! Aber bei der Multiplikation von zwei Wurzeln darf ich doch addieren, oder geht das nicht, weil +x^2 als Summe steht?

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Stimmt! Aber bei der Multiplikation von zwei Wurzeln darf ich doch addieren

Autsch.

Der Nenner ist \( \sqrt{21}\cdot \sqrt{34+x^2}\)