Wie bestimmt man diese Lineare Rekursionen? (Matrix-Darstellung)

Question

1) Wir betrachten die Folge von Vektoren v_i ∈ ℝ² für alle i ∈ ℕ, die durch v₀ = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) und v_k+1 = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \) * v_k definiert ist. Geben Sie eine explizite Formel für v_k an!

2) Wir betrachten die Funktion F: ℝ → ℝ³, die die lineare Differentialgleichung \( \frac{∂}{∂X} \) F(X) = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \) * F(X) mit Anfangsbedingung F(0) = \( \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} \) Erfüllt. Geben Sie F explizit an!

Wie geht man bei beiden Aufgaben voran,

Ich habe angefangen, dass char_A (t) = Det  \( \begin{pmatrix} 1-t & -1 & 1 \\ -1 & -t & 1 \\ -1 & -2 & 3-t \end{pmatrix} \) = (t-1)²(t-2). Somit sind die Eigenwerte t_1,2=1 und t₂=2, da ein doppelter Eigenwert vorhanden ist, ist die Matrix A nicht Diagonalisierbar. Dann habe ich die Eigenvektoren bestimmt in diesem Fall für beide Aufgaben \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \).

So da alle drei Vektoren Linear unabhängig ist gilt S = \( \begin{pmatrix} 0& 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 &1  \end{pmatrix} \) und S^-1= \( \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0  & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1  \end{pmatrix} \).

Damit ist D= S*A*S^-1 = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Nun weiß ich nicht wie man das weiter berechnen soll und was ist der Unterschied der beiden Aufgaben?

Wäre nett wenn jemand mir weiterhelfen könnte.

Comments

Ich hab zwar nicht nachgerechnet, aber du schreibst:

da ein doppelter Eigenwert vorhanden ist, ist die Matrix A nicht Diagonalisierbar.

und rechnest dann plötzlich D=...

Du meinst hier die Jordan-Zerlegung der Matrix?

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Ja genau, das meinte ich damit

Answer 1

Für 1) brauchst du doch nur mal ein paar Ergebnisse bestimmen, dann zeigt sich schnell v_k=

2^k
2
2^k+2

und das beweist du dann per Induktion.

Comments

Wie kann man denn hier den Induktionsschritt beweisen?

Ich weiß nicht wie man das auseinander ziehen kann damit man die induktionsannahme einsetzen kann.

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Einsetzen bei :

\(v_{k+1} =  \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}  * v_k \)

\(=  \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}  *\begin{pmatrix} 2^k\\2\\2^k+2 \end{pmatrix}  \)

\(= \begin{pmatrix} 2*2^k\\2\\2*2^k+2 \end{pmatrix}  \)

\(= \begin{pmatrix} 2^{k+1}\\2\\2^{k+1}+2 \end{pmatrix}  \) q.e.d.

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Ok super danke. Geht man bei 2 genau so vor oder wie kann man das machen ?

Answer 2

Hallo,

wenn du eine Jordanzerlegung hast, dann gilt

A = S*J*S^{-1}

und somit

A^n = S*J^n *S^{-1}

Die Potenz J^n kannst du leichter ausrechnen, weil sich J als Summe einer Diagonalmatrix und einer nilpotenten Matrix darstellen lässt.

Für die zweite Teilaufgabe nutzt du am besten das Matrixexponential.

Die Lösung der Aufgabe lautet:

F(X)= exp(X*A)*F(0)

Zur Berechnung von exp(X*A)

kannst du direkt über die Definition von exp gehen:

exp(X*A)= Sum (n=0 bis oo) X^n A^n /k!

A^n kennst du aus der ersten Teilaufgabe, die entstehende Summe lässt sich algebraisch lösen.