Bestimmen Sie die 3 × 2-Matrix (Matrix-Darstellung)

Question

Aufgabe:

Sei P⁽ⁿ⁾ der Vektorraum aller reellen Polynome p(x) = a_nxⁿ +. . .+a₁x+a₀ vom Grade ≤ n. Sei L die lineare Abbildung von P⁽¹⁾ nach P⁽²⁾ gegeben durch

Lp(x) = 3x²\( \frac{d}{dx} \)p(x) + (4x + 5)p(x).

Bestimmen Sie die 3 × 2-Matrix A = M^B_A(L) bezüglich der Basis A = (1, x) von P⁽¹⁾ und der Basis B = (1, x, x²) von P⁽²⁾

Problem/Ansatz:

Die Lösung sollte: \( \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 4 & 5 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \) sein. Doch wie kommt man auf diese Lösung?

Answer 1

$$p \in P^{(1)} \Rightarrow p(x) = a_0 + a_1 x$$

\(\Rightarrow\) Koordinaten von p in Basis (1,x):\(\begin{pmatrix} a_0\\a_1 \end{pmatrix}\)

Drücke nun Lp in Basis \((1,x,x^2)\) aus:

$$Lp(x) = 3x^2a_1 + (4x+5)(a_0+a_1 x) = 7a_1 x^2 + (4a_0 + 5a_1)x + 5a_0$$

\(\Rightarrow\) Koordinaten von Lp in Basis \((1,x,x^2):\)

\(\:\begin{pmatrix} 7a_1\\4a_0 + 5a_1 \\ 5a_0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 7\\4&  5 \\ 5& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\a_1 \end{pmatrix}\)

Answer 2

Bestimme die Bilder der Basisvektoren

L(1) =3x^2\( \frac{d}{dx} \)1+ (4x + 5)1

  =3x^2 *0  + 4x+5

= 4x+5   =   0x^2 + 4x + 5

Die Koeffizienten 0  4   5   bilden also die

erste Spalte der Matrix.

Entsprechend für die 2. Spalte:

L(x) =3x^2\( \frac{d}{dx} \)x+ (4x + 5)x

    =3x^2 * 1 + 4x^2 + 5x

     = 7x^2 + 5x + 0

Also 2. Spalte 7  5   0  .