Wie wendet man die pq-Formel bei der Berechnung der Nullstellen von der Schar fa(x)= ax^2+x-2/a an?

Question

Ich sitze seit mehreren Stunden daran und ich bin langsam am verzweifeln.

Ich habe die Funktionsgleichung als erstes mit *1/a multipliziert, damit das a vor dem x^2 verschwindet nur bekomme ich bei der  Verwendung der pq-Formel jedes Mal andere Werte raus. Könnte das jemand einmal vorrechnen?

Answer 1

Hallo,

Die Funktion ist $$f_a(x) = ax^2 + x - \frac 2a$$

Ich habe die Funktionsgleichung als erstes mit *1/a multipliziert

Guter Ansatz ... $$\begin{aligned}  ax^2 + x - \frac 2a &= 0 &&\left|\, \div a\right. \\ x^2 + \frac 1a x - \frac 2{a^2} &= 0 &&\left|\, p = \frac 1a, \space q = - \frac 2{a^2}\right. \\  x_{1,2} &= - \frac{1}{2a} \pm \sqrt{ \frac 1{4a^2}  + \frac 2{a^2} } \\ &= - \frac 1{2a} \pm \sqrt{\frac 1{4a^2} + \frac 8{4a^2}} \\ &= - \frac 1{2a} \pm \sqrt{ \frac 9{4a^2}} \\ &= -\frac 1{2a} \pm \frac{3}{2a} \\ \implies x_1 &= \frac 1a, \quad x_2 = - \frac {2}{a}\end{aligned}$$Überprüfe das noch mal für \(a=1\) und \(a=2\)

~plot~ x^2+x-2;2x^2+x-1;[[-4|3|-3|2]] ~plot~

Passt! - die Nullstellen liegen bei \((1;-2)\) (blauer Graph) und \((0,5; -1)\) (roter Graph)

Gruß Werner

Comments

Ich bin dir extrem dankbar, vielen Dank!

Answer 2

\( f_a(x)= ax^2+x-\frac{2}{a}\)

\( ax^2+x-\frac{2}{a}=0|:a\)

\( x^2+\frac{1}{a}x-\frac{2}{a^2}=0\)

\( x^2+\frac{1}{a}x=\frac{2}{a^2}\)  quadratische Ergänzung:

\( x^2+\frac{1}{a}x+(\frac{1}{2a})^2=\frac{2}{a^2}+(\frac{1}{2a})^2\)       1.Binom:

\( (x+\frac{1}{2a})^2=\frac{9}{4a^2}|±\sqrt{~~}\)

1.)

\( x+\frac{1}{2a}=\frac{3}{2a}\)

\( x_1=\frac{1}{a}\)

2.)

\( x+\frac{1}{2a}=-\frac{3}{2a}\)

\( x_2=-\frac{2}{a}\)

Answer 3

fa(x)=0=a*x²+1*x-2/a  dividiert durch a

0=x²+1/a-2/a²  in die p-q-Formel

x1,2=-1/(2*a)+/-Wurzel((1/(2*a)²-(-2/a²)=-1/(2*a)+/-Wurzel(1/(4*a²+2/a2)

1/(4*a²)+2/a²)=1/a²*(1/4+8/4)=1/a²*9/4

x1,2=-1/(2*a)+/-Wurzel(9/(4*a²)=-1/(2*a)+/-3/(2*a)

x1,2=-1/(2*a)+/-3/(2*a)

x1=-1/(2*a)+3/(2*a)=2/(2*a)=1/a

x2=-1/(2*a)-3/(2*a)=-4/(2*a)=-2/a