Aloha :)
Es ist \(\mathbf A\in\mathbb{R^{m\times n}}\), seien weiter \(\vec y\in\mathbb{R^n}\) und \(\vec x\in\mathbb{R^m}\), dann gilt:$$\left<\vec x;\mathbf A\vec y\right>=\sum\limits_{i=1}^mx_i(\mathbf A\vec y)_i=\sum\limits_{i=1}^mx_i\left(\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}y_k\right)\stackrel{(*)}{=}\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{k=1}^nx_iA_{ik}y_k$$$$\phantom{\left<\vec x;\mathbf A\vec y\right>}\stackrel{(**)}{=}\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=1}^mA_{ik}x_iy_k=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=1}^m(A^T)_{ki}x_iy_k=\sum\limits_{k=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^m(A^T)_{ki}x_i\right)y_k$$$$\phantom{\left<\vec x;\mathbf A\vec y\right>}=\sum\limits_{k=1}^n(\mathbf A^Tx)_ky_k=\left<\mathbf A^T\vec x;\vec y\right>$$\(^\ast)\) Distributivgesetz\(\quad(^{\ast\ast})\) Kommutativgesetze der Multiplikation und der Addition
Sei nun \(\vec y\ne0\) und \(\mathbf A\vec y=\vec 0\), dann gilt:$$\mathbf A\vec y=\vec 0\quad\Leftrightarrow\quad0=\left<\mathbf A\vec y;\mathbf A\vec y\right>\stackrel{(\mathrm{s.o.})}{=}\left<\mathbf A^T\mathbf A\vec y;\vec y\right>\quad\Leftrightarrow\quad\mathbf A^T\mathbf A\vec y=\vec 0$$Das heißt, \(\mathbf A\in\mathbb{R^{m\times n}}\) und \(\mathbf A^T\mathbf A\in\mathbb{R^{n\times n}}\) haben denselben Kern.
Wenn also \(\operatorname{rang}\mathbf A=n\) gilt, hat \(\mathbf A^T\mathbf A\in\mathbb{R^{n\times n}}\) vollen Rang und das Gleichungssystem$$\mathbf A^T\mathbf A\vec x=\mathbf A^T\,\vec b$$ist stets eindeutig lösbar, weil \(\mathbf A^T\mathbf A\) invertierbar ist.
