Zu zeigen: Die Matrix zur Spiegelung an der Ursprungshyperebene ist symmetrisch und orthogonal

Question

Zu zeigen:
1. Die Matrix H_v = I - 2vv^T mit ||v||=1 zur Spiegelung an der Ursprungshyperebene v^⊥ ist sowohl symmetrisch als auch orthogonal und det H_v = -1.
2. Hat jede symmetrische orthogonale Matrix A mit detA = -1 die Form A = H_v für ein v?
3. Jede orthogonale Matrix A ein Produkt von Spiegelungsmatrizen H_v an Ursprungshyperebenen v^⊥ ist.

Themen: Spiegelung, Ursprungshyperebenen, symmetrische orthogonale Matrix

Answer 1

Hallo,

zu 1.) \(H_v\) ist symmetrisch, da die Einheitsmatrix symmetrisch ist und das diadische Produkt \(vv^T\) zweier identischer Vektoren ebenfalls symmetrisch ist. Daraus folgt auch$$H_v = H_v^T$$\(H_v\) ist nach der Definition orthogonaler Matrizen orthogonal, wenn das Produkt aus ihr selbst und ihrer Transponierten die Einheitsmatrix ergibt.$$\begin{aligned} H_v \cdot H_v^T &= H_v \cdot H_v &&\left|\, H_v = I - 2vv^T\right. \\ &= \left(I - 2vv^T\right)^2 \\ &= I^2 - 4vv^T + 4v\underbrace{v^Tv}_{=1}v^T \\ &= I \end{aligned}$$\(v^Tv = 1\) folgt aus der Bedingung \(|v|=1\). Aus dem Determinantenproduktsatz folgt$$1 = \det(I) = \det(H_v \cdot H_v) = \det(H_v) \cdot \det(H_v) \\ \implies |\det(H_v)| = 1$$und sie muss \(\lt 0\) sein, da durch die Spiegelung der Umlaufsinn invertiert wird. Du kannst auch versuchen, es auszumultiplizieren ;-)

2. Hat jede symmetrische orthogonale Matrix A mit det(A) = -1 die Form A = H_v fur ein v?

Nein - einfaches Gegenbeispiel: wähle drei unterschiedliche Vektoren im \(\mathbb R^3\) und multipliziere ihre Spiegelmatrizen. Dies gibt i.A. eine Drehspiegelung, was nicht durch eine einfache Spiegelung darstellbar ist.

3. Jede orthogonale Matrix A ein Produkt von Spiegelungsmatrizen H_v an Ursprungshyperebenen v^⊥ ist.

Ja - in \(\mathbb R^3\) ist es anschaulich klar, dass es maximal drei Spiegelmatrizen sind. Ein allgemeiner Beweis ist mir nicht bekannt.

Comments

zum Punkt 3) ist mir noch eingefallen, dass man dies über die Householder-Transformation zeigen kann. Bei der \(QR\)-Zerlegung einer orthogonalen Matrix mittels Householder wird \(R=I\) und \(Q\) zerfällt dann in ein Produkt von \(n\) Spiegelmatrizen \(H\).