Bestimme die momentane Änderungsrate

Question

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Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \( A \) und \( B \) her. Die herstellbare Menge des Gutes hangt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemáß der Produktionsfunktion \[ q=F\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{0.15 x_{1}+0.45 x_{2}+0.35 x_{1} x_{2}} \]

Dabei bezeichnen x1 und x2 die eingesetzten Mengen der Rohstoffe A und B und q=F(x1,x2) die pro Monat hergestellte Menge des Produkts. Im Moment verwendet der Hersteller die Faktorkombination (x1,x2)=(2,1.4).

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate von Faktor A bei Erhöhung von Faktor B um eine marginale Einheit und unter Beibehaltung des Produktionsniveaus von F(2,1.4) Mengeneinheiten.

Answer 1

Aloha :)

Hier geht es darum, die Änderungsrate \(dx_1\) von Rohstoff \(A\) zu bestimmen, wenn sich Rohstoff \(B\) um \(dx_2\) ändert und der Wert der Funktion \(F\) dabei konstant bleibt.$$\text{const}\stackrel{!}{=}q=F(x_1,x_2)=\exp\left(0,15x_1+0,45x_2+0,35x_1x_2\right)$$

Bei konstantem Wert \(F(x_1,x_2)\) ist das totale Differential \(dF=0\). Für die partiellen Ableitungen verwenden wir die Kettenregel "äußere mal innere":$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial F}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}dx_2$$$$\phantom{0}=\exp\left(0,15x_1+0,45x_2+0,35x_1x_2\right)\cdot(0,15+0,35x_2)\cdot dx_1$$$$\phantom{0}+\exp\left(0,15x_1+0,45x_2+0,35x_1x_2\right)\cdot(0,45+0,35x_1)\cdot dx_2$$$$\phantom{0}=F(x_1,x_2)\cdot(0,15+0,35x_2)\cdot dx_1+F(x_1,x_2)\cdot(0,45+0,35x_1)\cdot dx_2$$

Sofern \(F(x_1;x_2)\ne0\) ist, und davon können wir bei einer Produktionsfunktion ausgehen, können wir beide Seiten der Gleichung durch \(F(x_1;x_2)\) dividieren:$$0=(0,15+0,35x_2)\cdot dx_1+(0,45+0,35x_1)\cdot dx_2$$

Wir setzen nun die Werte \((x_1;x_2)=(2;1,4)\) ein und finden:$$0=(0,15+0,35\cdot1,4)\cdot dx_1+(0,45+0,35\cdot2)\cdot dx_2$$$$0=0,64\cdot dx_1+1,15\cdot dx_2$$

Das nach \(dx_1\) umgestellt, ist die gesuchte momentane Änderung:$$dx_1=-\frac{1,15}{0,64}\cdot dx_2=-\frac{115}{64}\cdot dx_2=-1,796875\cdot dx_2$$

Answer 2

Schaffst du es die partiellen Ableitungen zu bilden und dort x1 und x2 einzusetzen und auszurechnen?

Wenn ja nenne mal die Ergebnisse.

Comments

ich weiß nicht wie man das partiell ableitet mit Hochzahlen....

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Benutze https://www.ableitungsrechner.net/

Die Brüche darfst du dabei getrost als Dezimalzahlen schreiben.

Die Exponentialfunktion leitet man über die Kettenregel ab.

[ e^(u(x)) ]' = e^(u(x))·u'(x)

Answer 3

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Maxima und Minima von Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher

z(x,y)=...

Existens eines Extremwertes

fx=0 und fy=0  und fxx*fyy-f²xy>0

Maximum fxx<0 und damit auch fyy<0

Minimum fxx>0 und damit auch fyy>0

fx 1,te Ableitung mit x als unabhängige Variable (dabei ist dann y=konstant,y als Konstante behandeln)

nennt man partiell abgeleitet nach x

fy 1.te Ableitung mit y als unabhängige Variaable (dabei ist dann x=konstant,x als Konstante behandeln)

fxx  2.te Ableitung partiell nach x abgeleitet (d²z/dx²)

fyy 2.te Ableitung partiell nach y abgeleitet (d²z/dy²)

Halte dich exakt an die Formeln.Der Rest ist aber viel Rechnerei