Aloha :)
Die Konstante \(a\) hast du dir ja bereits vollkommen richtig überlegt:$$20,83\,\mathrm m=a\cdot(50\,\mathrm m)^2\quad\Rightarrow\quad a=\frac{20,83\,\mathrm m}{2500\,\mathrm m^2}=0,008332\frac{1}{\mathrm m}$$
Zur Berechnung der Fläche benötigen wir zunächst einen Ortsvektor \(\vec r\), der die Oberfläche abtastet:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\a(x^2+y^2)\end{pmatrix}\quad\;\quad x\in[0;50]\;;\;y\in[0;50]$$Beachte, dass durch Wahl der Intervalle der Ortsvektor \(\vec r\) die Oberfläche lediglich über dem ersten Quadranten abtastet. Das erspart uns negative Vorzeichen bei der Rechnung und wir brauchen, wegen der Symmetrie der Situation, unser Integral nur mit \(4\) zu multiplizieren, um die gesamte Oberfläche \(F\) zu erhalten.
Wir benötigen noch das Flächenelement \(df\) am Ort des Abtastvektors \(\vec r\):
$$df=\left\|\frac{\partial\vec r}{\partial x}dx\times\frac{\partial\vec r}{\partial y}dy\right\|=\left\|\begin{pmatrix}1\\0\\2ax\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\2ay\end{pmatrix}\right\|dx\,dy=\left\|\begin{pmatrix}-2ax\\-2ay\\1\end{pmatrix}\right\|dx\,dy$$$$\phantom{df}=\sqrt{1+4a^2x^2+4a^2y^2}dx\,dy=\sqrt{1+4a^2(x^2+y^2)}dx\,dy$$
Damit ergibt sich das Integral für die Oberfläche:$$F=4\int\limits_0^{50}\int\limits_0^{50}\sqrt{1+4a^2(x^2+y^2)}dx\,dy$$Zur Berechnung bieten sich Polarkoordinaten an:$$\binom{x}{y}=\binom{\rho\cos\varphi}{\rho\sin\varphi}\quad;\quad\rho\in[0;50]\;;\;\varphi\in\left[0\,;\;\frac{\pi}{2}\right]\quad;\quad dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\varphi$$$$F=4\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^{50}\rho\,d\rho\sqrt{1+4a^2\left((\rho\cos\varphi)^2+(\rho\sin\varphi)^2\right)}$$$$\phantom{F}=4\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^{50}\rho\,d\rho\sqrt{1+4a^2\rho^2}=4\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{8a^2}\int\limits_0^{50}8a^2\rho\,d\rho\sqrt{1+4a^2\rho^2}$$$$\phantom{F}=\frac{\pi}{4a^2}\int\limits_0^{50}8a^2\rho\,d\rho\sqrt{1+4a^2\rho^2}=\frac{\pi}{4a^2}\left[\frac{2}{3}\left(\sqrt{1+4a^2\rho^2}\right)^3\right]_0^{50}$$$$\phantom{F}=\frac{\pi}{6a^2}\left[\left(\sqrt{1+4a^2\rho^2}\right)^3\right]_0^{50}=\frac{\pi}{6a^2}\left[\left(\sqrt{1+4a^2\cdot(50\,\mathrm m)^2}\right)^3-1\right]$$$$F\approx9090,19\,\mathrm m^2$$
