Die Verteilungsfunktionen konvergieren punktweise gegen Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen

Question

Seien \( \lambda>0 \) und \( \left(T_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \) eine Folge geometrisch verteilter Zufallsvariablen mit Parametern \( p_{n}=\frac{\lambda}{n} . \)

Zeigen Sie: Die Verteilungsfunktionen \( F_{n}(x)=\mathbb{P}\left(\frac{1}{n} T_{n} \leq x\right) \) von \( \frac{1}{n} T_{n} \) konvergieren punktweise gegen die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen.

Answer 1

Hallo,

es ist

\( F_n(x) = P\left( \frac{T_n}{n} \leq x \right) \)
\( = P(T_n \leq nx) \)
\( = \sum_{i=0}^{nx} P(T_n = i) \)
\( = \sum_{i=0}^{nx} p_n(1-p_n)^i \)
\( = p_n \sum_{i=0}^{nx} (1-p_n)^i \)
\( = p_n \frac{1 - (1-p_n)^{nx+1}}{p_n} \)
\( = 1 - (1-p_n)^{nx+1} \)
\( = 1 - (1-p_n)(1-p_n)^{nx} \).

Mit \( p_n = \frac{\lambda}{n} \) und \( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{y}{n} \right)^n = \exp(y) \) erhält man

\( \lim_{n \rightarrow \infty} F_n(x) = 1 - \lim_{n \rightarrow \infty}(1 - p_n) (\lim_{n \rightarrow \infty} (1 - p_n)^n )^x \)
\( = 1 - \exp(-\lambda)^x \)
\( = 1 - \exp(-\lambda x) \).

Grüße

Mister