Sind a und b rationale Zahelen --> a+b ist rational

Question

Die Aufgabenstellung ist folgende:

Sind a und b rationale Zahelen --> a+b ist rational

Leider ist mir die ganze Beweisthematik nicht so geläufig, deswegen wäre es schön wenn man es für mich Schritt für Schritt erklären könnte.

Mein Ansatz wäre folgender:

a sieht z.B. so aus: a = p / q

p,q sind ganze Zahlen (Eigenschaften von rationalen Zahlen)

Wenn ich jetzt a + b mache ist es ja p / q + p / q, könnte man auch so schreiben 2 * p/q. Da dort immer noch das p/q ist, sind es rationale Zahlen... 

 

Wie geht man an solche Aufgaben ran? 

Answer 1

Dein Ansatz ist schon ganz gut, aber b kommt darin gar nicht vor. Du hast lediglich gezeigt, dass a + a = 2 a rational ist, wenn a rational ist.

Unter der Voraussetzung, dass die Abgeschlosssenheit der ganzen Zahlen bzgl. Addition und Multiplikation vorausgesetzt werden darf, würde ich es so zeigen:

a , b ∈ Q 

=> ∃_{p,q,r,s ∈ Z,q ≠0 und s ≠ 0}  a = p / q und b = r / s

(In Worten: "dann existieren ganze Zahlen p,q,r,s mit q ungleich Null und s ungleich Null, so dass a = p / q und b = r / s")

=> a + b = ( p / q ) + ( r / s ) = ( p * s + q * r ) / ( q * s )

Da die ganzen Zahlen Z abgeschlossen bzgl. der Addition und der Multiplikation sind, gilt:

( p * s + q * r ) ∈ Z und ( q * s ) ∈ Z

Aus q ≠0 und s ≠ 0 folgt q * s ≠ 0 und daher

=> ( p * s + q * r ) / ( q * s ) ∈ Q

Also ist die Summe zweier rationaler Zahlen wieder eine rationale Zahl.

Answer 2

Da a rational ist gibt es ganze Zahlen p,q mit a=p/q

Da b rational ist gibt es ganze Zahlen r,s mit b=r/s.

Dann ist a+b=p/q+r/s=(ps+rq))/qs wieder eine rationale tahl, da ps+rq und qs ganze Zahlen sind.

Comments

Was ist, wenn q * s = 0 ?

Auch 0 ist eine ganze Zahl, dennoch ist x / 0 für kein x eine rationale Zahl ...