Dein Ansatz ist schon ganz gut, aber b kommt darin gar nicht vor. Du hast lediglich gezeigt, dass a + a = 2 a rational ist, wenn a rational ist.
Unter der Voraussetzung, dass die Abgeschlosssenheit der ganzen Zahlen bzgl. Addition und Multiplikation vorausgesetzt werden darf, würde ich es so zeigen:
a , b ∈ Q
=> ∃p,q,r,s ∈ Z,q ≠0 und s ≠ 0 a = p / q und b = r / s
(In Worten: "dann existieren ganze Zahlen p,q,r,s mit q ungleich Null und s ungleich Null, so dass a = p / q und b = r / s")
=> a + b = ( p / q ) + ( r / s ) = ( p * s + q * r ) / ( q * s )
Da die ganzen Zahlen Z abgeschlossen bzgl. der Addition und der Multiplikation sind, gilt:
( p * s + q * r ) ∈ Z und ( q * s ) ∈ Z
Aus q ≠0 und s ≠ 0 folgt q * s ≠ 0 und daher
=> ( p * s + q * r ) / ( q * s ) ∈ Q
Also ist die Summe zweier rationaler Zahlen wieder eine rationale Zahl.