Aloha :)
Es sei \(a_n\) die Anzahl der Kunden im Monat \(n\). Es geht los mit \(a_1=2514\). Im Monat \(n+1\) gewinnt das Unternehmen die Anzahl \(2514+n\cdot379=a_1+n\cdot379\) an Kunden hinzu, macht zusammen mit den \(a_n\) bereits vorhandenen Kunden:$$a_{n+1}=a_n+a_1+n\cdot 379\quad;\quad a_1=2514$$
Um eine Idee zu bekommen, wie diese Rekursionsgleichung aufgelöst werden kann, schreiben wir die ersten Folgenglieder auf:$$a_2=a_1+a_1+1\cdot379=2a_1+1\cdot379$$$$a_3=a_2+a_1+2\cdot379=3a_1+3\cdot379$$$$a_4=a_3+a_1+3\cdot379=4a_1+6\cdot379$$$$a_5=a_4+a_1+4\cdot379=5a_1+10\cdot379$$$$\underline{a_n=na_1+\frac{n^2-n}{2}\cdot379}$$
Wir festigen unsere Vermutung durch einen Beweis mittels vollständiger Induktion.
Verankerung \(n=1\):$$a_1=1\cdot a_1+\frac{1^2-1}{2}\cdot379=a_1\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$a_{n+1}=a_n+a_1+n\cdot379\stackrel{(I.V.)}{=}na_1+\frac{n^2-n}{2}\cdot379+a_1+n\cdot379$$$$\phantom{a_{n+1}}=(n+1)a_1+\left(\frac{n^2-n}{2}+n\right)\cdot379=(n+1)a_1+\left(\frac{n^2+n}{2}\right)\cdot379$$$$\phantom{a_{n+1}}=(n+1)a_1+\left(\frac{n^2+2n+1-2n-1+n}{2}\right)\cdot379$$$$\phantom{a_{n+1}}=(n+1)a_1+\left(\frac{(n+1)^2-(n+1)}{2}\right)\cdot379\quad\checkmark$$
Nach 1 Jahr ist \(n=12\) und die Kundenanzahl des Unternehmens beträgt:$$a_{12}=12a_1+\frac{12^2-12}{2}\cdot379=12\cdot2514+66\cdot379=55\,182$$
