Wie hoch ist das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis K/L der beiden Produktionsfaktoren?

Question

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion F(K,L) in Abhängigkeit von Kapital (K) und Arbeit (L) auf

F(K,L)=KL.
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK=32 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL=28. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 120 ME produziert werden soll.

a. Wie hoch ist das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis K/L der beiden Produktionsfaktoren?
b. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Arbeit in dem Kostenminimum?
c. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in dem Kostenminimum?
d. Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum?
e. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Answer 1

Wo liegen genau deine Probleme. Schaffst du es die Lagrange-Funktion aufzustellen?

Hier schon mal eine Vergleichslösung von meinem Freund Wolfram

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion F(K, L) in Abhängigkeit von Kapital (K) und Arbeit (L) auf

F(K, L) = K·L

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output O produziert werden soll.

pk = 32
pL = 28
O = 120

Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in dem Kostenminimum?
K = 10,24695077

Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Arbeit in dem Kostenminimum?
L = 11,71080088

Wie hoch ist das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis K/L der beiden Produktionsfaktoren?
K/L = 0,875

Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum?
λ = 2,732520204

Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?
Kosten = 655,804849

Comments

ich schaffe es nicht eine lagrangegleichung aufzustellen und diese fehlerlos zu berechnen

---

Die Langrange Funktion lautet hier

L(k, l, λ) = 32·k + 28·l - λ·(k·l - 120)

Davon wären zunächst dann die partiellen Ableitungen zu bilden.

Answer 2

Aloha :)

Die Kosten betragen \(C(k,l)=32k+28l\). Diese sollen unter der Randbedinungen \(kl=120\) minimiert werden. Die Nebenbedingung bringen wir auf die Form \(kl-120=0\), um die Lagrange-Funktion formulieren zu können:$$L(k,l)=32k+28l-\lambda(kl-120)$$Wir bilden zunächst die partiellen Ableitungen nach \(k\) und \(l\):

$$0\stackrel{!}{=}\partial_k L=32-\lambda l\quad\Rightarrow\quad\underline{\lambda =\frac{32}{l}}$$$$0\stackrel{!}{=}\partial_l L=28-\lambda k\quad\Rightarrow\quad\underline{\lambda=\frac{28}{k}}$$Wir divideren die Gleichungen und erhalten:$$1=\frac{\lambda}{\lambda}=\frac{\frac{32}{l}}{\frac{28}{k}}=\frac{32}{l}\frac{k}{28}\quad\Rightarrow\quad\underline{\frac{k}{l}=\frac{28}{32}=\frac{7}{8}}$$Jetzt betrachten wir die Ableitung der Lagrange-Funktion nach \(\lambda\):

$$0\stackrel{!}{=}\partial_\lambda L=-(kl-120)\quad\Rightarrow\quad120=kl=\left(\frac{7}{8}l\right)l=\frac{7}{8}l^2\quad\Rightarrow$$$$\underline{l=\sqrt{120\cdot\frac{8}{7}}\approx11,710801}\quad;\quad \underline{k=\frac{7}{8}l\approx10,246951}$$Aus den unterstrichenen Formeln / Größen kannst du nun alles berechnen, was abgefragt wird ;)

Comments

Vielen Dank, ich habe jetzt folgende Lösungen berechnet:

a = 0,875 gerundet auf 0,88

b= 11,71

c= 10,25

d= 2,73

e= 655,88

habe von einem möglichen Punkt nur 0,8 Punkte erreicht. Ein Ergebnis ist deshalb falsch. Weiß aber nicht welches ..

---

wahrscheinlich ist es e..

bei e habe ich einfach so gerechnet:

32*10,25 + 28*11,71= 655,88

---

oder hätte ich nicht mit den gerundeten ergebnissen rechnen sodass zum Schluss 655,80486 herauskommt? könnte das der fehler gewesen sein?

---

Der Lagrange Multiplikator passt, es sei denn, ihr habt entgegen der Konvention in der Lagrange-Funktion ein \(+\) vor dem \(\lambda\), dann müsstest du das Vorzeichen bei (d) ändern. Das halte ich aber für unwahrscheinlich.

Wenn du (e) mit den auf 2 Stellen gerundeten Werten für k und l berechnest, kommt 655,88 raus. Wenn du die Werte für k und l mit 4 Stellen hinter dem Komma rechnest, kommt 655,81 heraus.

Die Konvention bei der Rechnung mit Geld ist, dass man 4 Stellen hinter dem Komma verwendet und erst das Ergebnis auf 2 Stellen rundet. Daher gibt es hier wohl eine "Rundungsabweichung".

---

oder hätte ich nicht mit den gerundeten ergebnissen rechnen sodass zum Schluss 655,80486 herauskommt? könnte das der fehler gewesen sein?

Ja. Das ist der Fehler. Euer Programm erwartet bei der Eingabe 2 Nachkommastellen und die müssen auch richtig gerundet angegeben werden.

Neulich hatte jemand nicht aufgerundet sondern nur abgeschnitten. Das gab dann gleich eine verkehrte Eingabe.