Gebe im Fall der Lösbarkeit den Lösungsraum als affinen Unterraum des ℝ3 an.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix B:= \( \begin{pmatrix} 6 & 4&8 \\ 4 & 0&8\\1&1&1 \end{pmatrix} \) und der Vektor c:= \( \begin{pmatrix} 4 \\ 4\\ 1/2 \end{pmatrix} \)

Ist das LGS lösbar, universell lösbar? Gebe in dem Fall der Lösbarkeit den Lösungsraum als affinen Unterraum des ℝ³ an.

Problem/Ansatz:

Also ich habe das LGS erst einmal auf Lösbarkeit bzw. universell Lösbarkeit überprüft.

Lösbarkeit: rang(B) = rang(B|c)

universelle Lösbarkeit: rang(B) = m bzw. m=n, da Mat(mxn,K) ja Mat(3x3,K) ist.

Mein Ergebnis ist rang(B) = rang(B|c) = 2.

somit ist Lösbarkeit gegeben, aber keine universelle Lösbarkeit, falls ich falsch liege lasst es mich wissen :)

Mit dem Gauß hab ich dann für den Lösungsraum L := { \( \begin{pmatrix} 1-2t \\ -1/2+t\\t \end{pmatrix} \) erhalten.

Ich verstehe jetzt aber nicht, wie ich diesen als affinen Unterraum des ℝ³ angebe. Würde mich darüber freuen, falls es mir jemand zeigen kann ^^

Answer 1

$$\mathbb{L}=\left\{ \vec{x}\in \mathbb{R}^{3}|\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\-\frac{1}{2}\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -2\\1\\1 \end{pmatrix} , t\in \mathbb{R} \right\}$$