Falls \( f(z) = \frac{g(z)}{h(z)} \) gilt und \( f(z) \) einen Pol m-ter Ordnung bei \( z = a \) besitzt, berechnet sich das Residum wie folgt
$$ \underset{ a } { \text{res} } \ f(z) = \frac{1}{(m-1)!} \left\{ \frac{ d^{m-1}} {dz^{m-1} } \left[ f(z)(z-a)^m \right] \right\}_{z=a} $$
Bei Dir ist \( f(z) = \frac{1-2z^2}{(1+z^2)^2} \) sowie \( a=1 \) und \( m = 2 \) also
$$ \underset{ a } { \text{res} } \ f(z) = \frac{d} {dz} \left[ \frac{1-2z^2}{(1+z^2)^2} (z-i)^2 \right] = \frac{d} {dz} \left[ \frac{1-2z^2}{(z+1)^2(z-1)^2} (z-i)^2 \right] = \frac{d} {dz} \left[ \frac{1-2z^2}{(z+1)^2} \right] $$
