wie kommt man auf (z+i)2 (Residuensatz)?

Question

Aufgabe:

Kann mir einer bitte erklären wie die auf die (z+i)² kommen (blau markierte)? 

Answer 1

Falls $f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}$ gilt und $f(z)$ einen Pol m-ter Ordnung bei $z = a$ besitzt, berechnet sich das Residum wie folgt

$$\underset{ a } { \text{res} } \ f(z) = \frac{1}{(m-1)!} \left\{ \frac{ d^{m-1}} {dz^{m-1} } \left[ f(z)(z-a)^m \right] \right\}_{z=a}$$

Bei Dir ist $f(z) = \frac{1-2z^2}{(1+z^2)^2}$ sowie $a=1$ und $m = 2$ also

$$\underset{ a } { \text{res} } \ f(z) = \frac{d} {dz} \left[ \frac{1-2z^2}{(1+z^2)^2} (z-i)^2 \right] = \frac{d} {dz} \left[ \frac{1-2z^2}{(z+1)^2(z-1)^2} (z-i)^2 \right] = \frac{d} {dz} \left[ \frac{1-2z^2}{(z+1)^2} \right]$$

Comments

Dankeee habe es verstanden