Differentialgleichung angeben die folgende allgemeine Lösung besitzt

Question

Geben Sie eine Differenzialgleichung an, die folgende allgemeine Lösung besitzt:

\( y(x)=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} x \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{x} \)

Wie muss ich hier vorgehen? Ein Lösungsweg wäre sehr hilfreich.

mfg

Answer 1

Hallo,

das charakteristische Polynom muss eine doppelte Nullstelle bei k=2 aufweisen, damit lautet das charakteristische Polynom

p(k)=(k-2)^2=k^2 -4k +4

Die homogene Gleichung lautet

y'' -4y' +4y =0

Setze nun den imhomogenen Teil der Lösung y=e^x in die Gleichung ein:

e^x -4e^x+4e^x =e^x

Damit muss auf der rechten Seite der DGL e^x stehen

y'' -4y' +4y =e^x

Answer 2

Hier sind 2 Integrationskonsten C1 und C2 und deshalb ist das auf jeden Fall eine Differentialgleichung 2.Ordnung

Versuch es mal mit der Inhomogene lineare Dgl 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten

a*y´´+b*y´+c*y=s(x)

hat die Störfunktion S(x) eine spezielle Form,vereinfacht sich die Lösung durch diese angepaßte Form

s(x)=ak(x)*e^(n*x) Ansatz ypi=Rk(x)*e^(n*x)  und ypi=x^(q)*Rk(x)*e^(n*x) mit n ist q-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung

Mehr weiß ich auch nicht und solch eine Aufgabe habe ich noch nie gerechnet.

Tipp:Schau mal im Mathe-Formelbuch nach,Kapitel Differentialgleichungen und rechne mal eine Aufgabe mit Zahlenwerten durch und prüfe,ob da deine allgemeine Lösung herauskommt..