Theoretische Ableitungsüberlegung

Question

Kann man bei der Definition der Ableitung das h, dass man bei f(x+h)-f(x)/h verwendet theoretisch austauschen durch ein h^3? Der Limes würde immernoch lauten h -> 0..
Ich denke das würde keinen wirklichen unterschied unterschied machen.

Answer 1

Man kann statt h auch h³ wählen. [f(x+h³)-f(x)]/h³ hat für h→0 den gleichen Grenzwert, wie [f(x+h)-f(x)]/h. Aber wozu soll das gut sein?

Answer 2

Aloha :)

Das kannst du machen, hat aber keinen Mehrwert. Interessant sind die Fälle, in denen du Zähler und Nenner veränderst. Häufige Anwendung findet dieser Fall:$$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\quad;\quad h\approx0$$Er wird bei numerischen Berechnungen der Ableitung verwendet, weil die Abweichung gegenüber der tatsächlichen Ableitung in \(O(h^2)\) anstatt in \(O(h)\) liegt.