Nullstellen herausfinden, wieso stimmen nicht alle Lösungen?

Question

Aufgabe:

Gesucht sind sämtliche Nullstellen der Funktion

y= x⁴ - 4x³ - 20x - 25

Problem/Ansatz:

Ich weiss wie man es ausrechnen sollte. Nur habe ich ein anderes Problem. Es gibt am Schluss  x³ - 5x² + 5x - 25. Da ich nicht weiss, wie man das ausrechnen sollte, habe ich einen online-Rechner gebraucht.Da habe ich 3 verschiedene Lösungen bekommen.

2,23606797749979·î

-2,23606797749979·î

5

Die richtige Lösung ist 5. Nur frage ich mich, wieso die anderen Zahlen nicht stimmen?

Answer 1

Die Nullstellen sind (nach meinem CAS) x₁=-1 und x₂=5. Weitere reelle Nullstellen gibt es nicht. Warum dein online-Rechner das nicht findet, kann ich nicht beurteilen.

Answer 2

Aloha :)

$$y=x^4-4x^3-20x-25$$

Alle ganzzahligen Nullstellen müssen Teiler der Zahl ohne $x$, hier also der $25$ sein. Die Teiler von $25$ sind: $\pm1,\pm5\,\pm25$. Diese 6 Werte setzen wir ein und finden Nullstellen bei $x=-1$ und bei $x=5$. $y$ enthalt also die Faktoren $(x+1)(x-5)=(x^2-4x-5)$. Nach einer Polynomdivision bleibt:$$y=(x+1)(x-5)(x^2+5)$$Der Faktor $x^2+5$ hat in $\mathbb R$ keine Nullstellen, aber in $\mathbb C$:$$x^2+5=x^2-5i^2=(x-\sqrt5i)(x+\sqrt5i)$$Die Faktorzerlegung von $y$ in $\mathbb C$ lautet also:$$y=(x+1)(x-5)(x-\sqrt5i)(x+\sqrt5i)$$Daraus kannst du alle 4 Nullstellen ablesen.