Nullstellen herausfinden, wieso stimmen nicht alle Lösungen?

Question

Aufgabe:

Gesucht sind sämtliche Nullstellen der Funktion

y= x^4 - 4x^3 - 20x - 25

Problem/Ansatz:

Ich weiss wie man es ausrechnen sollte. Nur habe ich ein anderes Problem. Es gibt am Schluss  x^3 - 5x^2 + 5x - 25. Da ich nicht weiss, wie man das ausrechnen sollte, habe ich einen online-Rechner gebraucht.Da habe ich 3 verschiedene Lösungen bekommen.

2,23606797749979·î

-2,23606797749979·î

5

Die richtige Lösung ist 5. Nur frage ich mich, wieso die anderen Zahlen nicht stimmen?

Answer 1

Die Nullstellen sind (nach meinem CAS) x₁=-1 und x₂=5. Weitere reelle Nullstellen gibt es nicht. Warum dein online-Rechner das nicht findet, kann ich nicht beurteilen.

Answer 2

Aloha :)

$$y=x^4-4x^3-20x-25$$

Alle ganzzahligen Nullstellen müssen Teiler der Zahl ohne \(x\), hier also der \(25\) sein. Die Teiler von \(25\) sind: \(\pm1,\pm5\,\pm25\). Diese 6 Werte setzen wir ein und finden Nullstellen bei \(x=-1\) und bei \(x=5\). \(y\) enthalt also die Faktoren \((x+1)(x-5)=(x^2-4x-5)\). Nach einer Polynomdivision bleibt:$$y=(x+1)(x-5)(x^2+5)$$Der Faktor \(x^2+5\) hat in \(\mathbb R\) keine Nullstellen, aber in \(\mathbb C\):$$x^2+5=x^2-5i^2=(x-\sqrt5i)(x+\sqrt5i)$$Die Faktorzerlegung von \(y\) in \(\mathbb C\) lautet also:$$y=(x+1)(x-5)(x-\sqrt5i)(x+\sqrt5i)$$Daraus kannst du alle 4 Nullstellen ablesen.