Hallo Sekerci,
Im Prinzip geht es immer so: nach den Variablen ableiten (nicht nach \(k\), das ist nur die Nebenbedingung). Ableitungen zu 0 setzen und das \(k\) eliminieren. Anschließend das Ergebnis in die Nebenbedingung wieder einsetzen - also in diesem Fall:$$\begin{aligned} f'_x = 18-ky^2 &=0 \implies k = \frac{18}{y^2} \\ f'_y = 37-2kxy &=0 \\ 37-2\frac{18}{y^2}xy & =0 \\ 37 y&= 36 x \implies \frac xy = \frac KL = \frac{37}{36}\\ \text{NB.:} \quad 310-xy^{2} &=0 \\ 310 \cdot 36 &= 36xy^2 \\ 310 \cdot 36 &= 37y^3 \\ y &= \sqrt[3]{\frac{310 \cdot 36}{37}} \approx 6,706 \quad \text{usw.}\end{aligned}$$Noch eine Bemerkung: die Frage nach dem Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) bzw. \(k\) ist im Grunde gar nicht zu beantworten, da man die Nebenbedingung mit einem beliebigen Faktor multiplizieren kann. Du hast z.B. eine \(-1\) vorangestellt. Das ist nicht falsch! Aber damit dividierst Du auch den Multiplikator \(k\) bzw. \(\lambda\) durch \(-1\)!
Zum Verständnis: mache Dir an Hand des folgenden Plots klar, was diese Optimierung aussagt:
~plot~ sqrt(310/x);((380)-18x)/37;[[-2|20|-1|20]];((360)-18x)/37;36x/37 ~plot~
Nach rechts ist das Kapital \(K\) und in der vertikalen die Arbeit \(L\) aufgetragen. Der blaue Graph zeigt den Zusammenhang zwischen \(K\) und \(L\), wenn 310ME produziert werden sollen. Die grüne Gerade zeigt den Zusammenhang bei Kosten von 360GE und die rote bei 380GE. Das Kostenminimum liegt also offensichtlich dazwischen.
Wichtig dabei ist die rosa Gerade. Sie zeigt nämlich das Verhältnis \(K/L\) im Kostenminimum - und zwar unabhängig von der Produktionsmenge. Das hier gesuchte Kostenminimum liegt im Schnittpunkt der rosa Geraden mit dem blauen Graphen.
