Winkel in einem Bereich bestimmen

Question

:)

leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie den spitzen Winkel (0 ≤ a ≤ 180°), den die zu x < 0 und x ≥ 0 gehörenden
Äste des Graphen von f(x) = e^(|3^(1/2)*x| einschließen.

Kann mir da möglicherweise jemand helfen?

Schon mal vielen Dank im voraus! :)

Answer 1

Hallo,

das ist der Winkel \(\alpha\) in dem Trichter der beiden Steigungsgeraden im Punkt \((0;1)\):

~plot~ e^(abs(3^(1/2)*x));[[-1|1|0.6|2]];sqrt(3)x+1;-sqrt(3)x+1 ~plot~

Dazu berechne die Steigung \(f'(x=0)\)$$f'(x) = \sqrt 3 e^{\sqrt 3\, x}, \quad x \ge 0 \\ \implies f'(x=0) = \sqrt 3$$D.h. der Steigungswinkel im positiven beträgt $$\arctan\left( \sqrt 3 \right) = \frac \pi 3 = 60°$$Für negative \(x\) ist es natürlich symmetrisch. Bleiben für den Trichterwinkel \(\alpha\): $$ \alpha = 180° - 2 \cdot 60° = 60°$$