Gaston-Transformation Theorieverständnis

Question

Aufgabe:

Sei X eine Zufallsvarialbe, a und b Konstanten und Y = aX + b .

Gaston behauptet, dass das Vorzeichen von a  keinen Einfluss auf die Varianz von Y hat.

Problem/Ansatz:

Ich denke schon, weil man die Grenzwerte ja auch anpasst.

Ich weiss aber nicht genau, wie ich das beweise, dass meine Antwort: FALSCH

wäre.

Answer 1

Aloha :)

Wir berechnen die Varianz \(V(Y)\) bzw. von \(V(aX+b)\):

$$V(aX+b)=\left<\left(aX+b-\left<aX+b\right>\right)^2\right>=\left<\left(aX+b-a\langle X\rangle-b\right)^2\right>$$$$\phantom{V(aX+b)}=\left<\left(aX-a\langle X\rangle\right)^2\right>=\left<a^2\left(X-\langle X\rangle\right)^2\right>=a^2\left<\left(X-\langle X\rangle\right)^2\right>$$$$\phantom{V(aX+b)}=a^2\,V(X)$$

Wegen \((+a)^2=(-a)^2=a^2\) hat Gaston mit seiner Behautptung recht.