Kritische Schwelle Luftdruck berechnen

Question

Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe exponentiell ab. Er beträgt bei 5500 m Seehöhe nur noch 50 % des Wertes auf Meeresniveau (ca. 1000 mbar).


λ hat den Wert 0,00012602676.

Die kritische Schwelle (jene Höhe, wo der menschliche Körper nicht mehr mit genügend Sauerstoff versorgt werden kann) liegt dort, wo der Luftdruck nur noch 40 % des Wertes auf Meeresniveau beträgt. Berechnen Sie diese Höhe!

400=1000*e ^{^-0.00012602676*h}

^{h=7270.6 m
Stimmt das?}

Geben Sie eine Formel an, mit der Sie in Abhängigkeit von einer Ausgangshöhe jene Höhe berechnen können, wo der Luftdruck nur noch die Hälfte dieses Wertes beträgt!

Answer 1

Ansatz:

\(P(h)=p_o\cdot q^h \) mit \(P(0)=p_0 \cdot q^0=p_0=1000\) und damit bekommt man \(q\):

\(P(5500)=500=1000\cdot q^{5500} \quad \Leftrightarrow \quad q^{5500}=\frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad q=\Big(\frac{1}{2} \Big)^{\frac{1}{5500}} \). Also hat man:

\(P(h)=1000\cdot \Big(\frac{1}{2} \Big)^{\frac{h}{5500}}=1000\cdot e^{\ln\Bigg(\Big(\frac{1}{2} \Big)^{\frac{h}{5500}}\Bigg)}\\=1000\cdot e^{h\cdot \ln\Bigg(\Big(\frac{1}{2} \Big)^{\frac{1}{5500}}\Bigg)}=1000\cdot e^{\lambda \cdot h}\)

mit \(\lambda= \ln\Bigg(\Big(\frac{1}{2} \Big)^{\frac{1}{5500}}\Bigg)\approx -0.0001260267601 \).

Für \(40%\) hat man also \(400=1000\cdot e^{\lambda \cdot h} \quad \Leftrightarrow \quad 0.4=e^{\lambda \cdot h} \quad \Leftrightarrow \quad \ln(0.4)=\lambda\cdot h\\  \quad \Leftrightarrow \quad h=\frac{\ln(0.4)}{\lambda}=\frac{\ln(0.4)}{\ln\Bigg(\Big(\frac{1}{2} \Big)^{\frac{1}{5500}}\Bigg)}\approx 7270.60452\).

Also bei etwa 7270.6 m wird es erreicht sein.

EDIT:

Gegeben: Luftdruck \(P(h)\) auf Höhe \(h\) sowie \(p_0=1000\) und \(q=\Big(\frac{1}{2} \Big)^{\frac{1}{5500}} \).

Gesucht: Höhe \(H\) mit \(P(H)=\frac{1}{2}\cdot P(h)\).

Ansatz: \(p_0\cdot q^H=\frac{1}{2}\cdot p_0 \cdot q^h \\ \Leftrightarrow q^H=\frac{1}{2}\cdot q^h\\\Leftrightarrow H=\frac{\ln\Big(\frac{1}{2}\cdot q^h\Big)}{\ln(q)}=\frac{-\ln(2)+h\cdot \ln(q)}{\ln(q)}=\frac{-\ln(2)}{\ln(q)}+h=\frac{-\ln(2)}{\ln\Bigg(\Big(\frac{1}{2} \Big)^{\frac{1}{5500}}\Bigg)}+h\\=h+\frac{-\ln(2)}{-\frac{1}{5500}\cdot \ln(2)}=h+5500.\)

Answer 2

h=7270.6 m
Stimmt das?   Ja !

Ausgangshöhe x und gesuchte Höhe y, dann gilt

1000 * e^( -λx) = 2* 1000 * e^( -λy) nach y auflösen gibt

y = x + ln(2) / λ

Comments

1000 * e^( -λx) = 2* 1000 * e^( -λy)

Wenn ich nach y auflöse, dann kommt bei mir das:
y = λ*x + ln(2) / λ

macht das einen Unterschied oder sind das beide die gleichen Lösungen?

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Ja, macht es, denn dein Ergebnis stimmt nicht. Betrachte stattdessen

$$ \begin{aligned}1000\cdot e^{-\lambda\cdot x}&=2\cdot 1000\cdot e^{-\lambda\cdot y} &\quad &|:1000\\e^{-\lambda\cdot x}&=2 \cdot e^{-\lambda\cdot y} &\quad &|\ln(.)\\-\lambda\cdot x &= \ln(2\cdot e^{-\lambda \cdot y})=\ln(2)-\lambda \cdot y&\quad &|-\ln(2)\\-\lambda\cdot x-\ln(2) &=-\lambda\cdot y&\quad &|:(-\lambda)\\y&=x+\frac{\ln(2)}{\lambda} \end{aligned} $$

Und wenn man \(\lambda\) (in exakter Form) noch genauer kennt, dann kommt man sogar auf

$$ y=x+5500 $$ siehe Rechnung ganz oben.