Berechnen Sie den Zeitraum, bis die Eiskugel auf eine Dicke von 2 mm geschmolzen ist.

Question

Longdrink mit Eis

Eine anfänglich 2 cm dicke Wassereiskugel, die kunstvoll und beeindruckend einen bunten Longdrink zieren soll, schmilzt (im Getränk näherungsweise) mit einer zeitlichen Rate, die proportional zu ihrer aktuellen Oberfläche ist. Der Longdrink steht 20 Minuten unangetastet auf dem Partytisch, sodass die Eiskugel in dieser Zeit auf den halben Durchmesser zusammenschmilzt. Berechnen Sie den Zeitraum, bis die Eiskugel auf eine Dicke von 2 mm geschmolzen ist.

Comments

Gelöscht, weil falsch.

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Gelöscht, weil falsch.

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t≈66,44 Minuten 

Viel zu viel.

Wenn es in 20 Minuten von 20 mm auf 10 mm schmilzt, also alle 2 Minuten um 1 mm, dann benötigt es noch weitere 16 Minuten (insgesamt also 36 Minuten), um auf 2 mm zu kommen.

Answer 1

Hallo,

gesucht ist wegen \( V = \frac{\pi D^3}{6} \) und \( A = \pi D^2 \) die Lösung der Differentialgleichung

\( \frac{1}{6} \frac{d(D^3)}{dt} = - k D^2 \)

für den Durchmesser \( D \). Es ergibt sich zunächst

\( \frac{1}{6} 3D^2 \dot{D} = -k D^2 \)

und schließlich

\( \dot{D} = - 2k \).

Die Lösung ist (mit \( t_0 = 0 \))

\( D(t) = -2k t + D_0 \).

Bei gegebener Halbwertszeit \( T = T_{0.5} \) findet man aus \( D(T) = \frac{D_0}{2} \) den Zusammenhang

\( k = \frac{D_0}{4 T} \).

Mit diesem \( k \) ist

\( D(t) = - \frac{D_0}{2} \frac{t}{T} + D_0 \).

Damit berechnet man \( t' = T_{0.1} \) aus \( D(t') = \frac{D_0}{10} \) das Ergebnis

\( t' = \frac{9}{5} T \).

Für den Beispielwert \( T = 20\ \text{min} \) ergibt sich \( t' = 36\ \text{min} \).

Grüße

Mister

Answer 2

Da die Abschmelzrate nicht proportional zum zu einem Zeitpunkt vorhandenen Volumen, sondern zur dann vorhandenen Kugeloberfläche sein soll, passt diese einfache Exponentialrechnung hier nicht.

Comments

Die Lösung von Gast hj2166 ist korrekt, erfordert aber wohl noch eine kleine Erläuterung. Da die Abschmelzrate (Volumenabnahme pro Zeiteinheit) zur jeweils aktuellen Kugeloberfläche proportional ist, nimmt der Radius linear ab. Das sieht man z.B. auch daran, dass die Ableitung des Kugelvolumens  (4π/3) r³  nach der Variablen r  gerade den Term für die Kugeloberfläche ergibt:  4π r²