Aloha :)
$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+\sin^2x}dx$$Substitutiere wie folgt:
$$u:=\sin x\quad;\quad\frac{du}{dx}=\cos x\;\;\Rightarrow\;\;dx=\frac{du}{\cos x}\quad;\quad u(0)=0\quad;\quad u\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$Damit lautet das Integral:
$$I=\int\limits_0^1\frac{\cos x}{1+u^2}\,\frac{du}{\cos x}=\int\limits_0^1\frac{du}{1+u^2}=\left[\arctan u\right]_0^1=\arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}$$
Ergänzung, falls du das Grundintegral noch nicht kennst. Die Tangens-Funktion hebt als Umkehrfunktion zur Arcus-Tangens-Funktion deren Wirkung auf:$$\tan(\arctan(x))=x$$Beide Seiten sind daher identisch und wir können sie getrennt ableiten:$$\underbrace{\left(1+\tan^2(\arctan(x))\right)}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\arctan'(x)}_{\text{innere Ableitung}}=1$$Wir nutzen wieder das gegenseitige Aufheben von Tangens und Arcus-Tangens:$$(1+x^2)\cdot\arctan'(x)=1$$und dividieren noch beide Seiten durch \((1+x^2)\):$$\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$
