Zeige, dass M={xn:n∈ℕ} ∪ { \lim\limits_{n\to\infty} xn} eine kompakte Menge ist.

Question

Hallöchen :)

Folgende Aufgabe bereitet mir Bauchweh:

Sei x_n eine konvergente Folge und M ein metrischer Raum.

Zeige, dass M={x_n:n∈ℕ} ∪ {\( \lim\limits_{n\to\infty} \) x_n} eine kompakte Menge ist.

Wäre überaus für eine Antwort dankbar

Answer 1

Hallo,

sei \(\mathcal{U}=\{U_i\}_{i\in I}\) (\(I\) ist eine beliebige Indexmenge) eine beliebige offene Überdeckung von \(M\). Wir zeigen, dass \(M\) bereits von endlich vielen der Mengen \(U_i\) überdeckt wird. Dafür muss man sich ein wenig auf sein Wissen aus der Analysis 1 berufen: Wir wissen, dass eine Menge aus \(\mathcal{U}\), taufen wir sie \(U_{i_0}\), den Grenzwert \(x=\lim\limits_{n\to\infty}x_n\) enthält, und nach der Definition von Konvergenz liegen dann in eben dieser Menge fast alle Folgenglieder. Die endlich vielen anderen Folgenglieder \(x_1,...,x_r\) liegen dann in (nicht unbedingt verschiedenen) Überdeckungsmengen \(U_{i_1}, ..., U_{i_r}\) aus \(\mathcal{U}\).

Demnach wird \(M\) schon von den endlich vielen Mengen \(U_{i_1}, ..., U_{i_r}, U_{i_0}\) überdeckt und besitzt somit die Heine-Borel'sche Überdeckungseigenschaft, ist also überdeckungskompakt und damit kompakt.

Comments

Zusatz: Du kannst dir mal überlegen, warum {x_n:n∈ℕ} nicht kompakt ist!

---

Gilt das für alle konvergenten x_n, dass {x_n: n ∈ ℕ} nicht kompakt ist?

---

Ansonsten gut erklärt.

---

Gilt das für alle konvergenten x_n, dass {x_n: n ∈ ℕ} nicht kompakt ist?

Ist \((a_n)\subset \mathbb{R}\) eine konvergente Folge mit etwa \(a_n:=1/n\). Für Mengen aus \(\mathcal{U}=\{U_{1/(1+n)^3}(a_n) : n\in \mathbb{N}\}\) gilt, dass sie zusammen zwar \(\{x_n: n ∈ ℕ\}\) überdecken, es aber keine endliche Teilüberdeckun gibt, denn jedes Element aus \(\mathcal{U}\) enthält nur ein Folgeglied.

Wann sollte die Menge kompakt sein?

Ansonsten gut erklärt.

---

Für Folgen, die ihren Grenzwert bereits mindestens einmal enthalten, zum Beispiel konstante Folgen, ist {x_n: n ∈ ℕ} kompakt.

---

Oh, das habe ich unterschlagen. Du hast recht.