Zeigen dass es sich um eine kompakte Menge handelt

Question

Aufgabe:

a)

Sei (x_n)_n∈ℕ eine konvergente Folge in einem metrischen Raum (M,d). Man zeige, dass

M = {x_n:n∈ℕ} ∪ {lim_n→∞ x_n}

eine kompakte Menge ist (bzgl. der Standardmetrik).

b)

Seien K,L⊂ ℝⁿ kompakte Mengen (bzgl. der Standardmetrik). Man zeige, dass

K+L := {k+l: k∈K, l∈L} 

eine kompakte Menge ist (bzgl. der Standardmetrik).

Vielen Dank für die Hilfe

Answer 1

Hallo,

a)

https://www.mathelounge.de/731341/zeige-dass-xn-n-lim-limits-to-infty-eine-kompakte-menge-ist

b)

Da \(K+L=\{k+l : k\in K ; l\in L\}\) eine Teilmenge des \(\mathbb{R}^n\) ist, müssen wir nach Heine-Borel zeigen, dass die Menge abgeschlossen und beschränkt ist.

Abgeschlossenheit: 

Sei \((z_k)_k\subset K+L\) eine konvergente Folge, die gegen \(z\) konvergiert. Dann gibt es \((x_k)_k\subset K\) und \((y_k)_k\subset L\) mit \(z_k=x_k+y_k\).

Dann gilt, weil \(L\) nach Voraussetzung kompakt ist, dass \(L\) und damit insbesondere \((y_k)_k\) beschränkt ist. Übrigens ist dann auch  \((x_k)_k\) mit analoger Argumentation beschränkt.

Nun exisitieren also konvergente Teilfolgen \(x_{k_m}\to x\) und \(y_{k_m}\to y\), so dass auch \(z_{k_m}\to x+y\) jeweils für \(m\to \infty\). Da \(K\) und \(L\) als kompakte Mengen überdies abgeschlossen sind, liegt der Grenzwert \(z=x+y\in K+L\), d.h. \(K+L\) ist folgenabgeschlossen und damit abgeschlossen.

Beschränktheit

Hier würde ich mich über deine Beteiligung freuen.

Tipp: Aus der Analysis 1 kennst du vielleicht \(\sup(K+L)=\sup(K)+\sup(L)\).