Berechnen Sie mithilfe des Modells die Verteilung der Gesamtpopulation von 50 000 Pinguinen für die ersten beilien …

Question

Aufgabe: Beispielaufgaben zur analytischen Geometrie (--> Bedeutung im Sachzusammenhang+ Populationsentwicklung+ Grenzmatrix und Eigenvektoren)

Problem/Ansatz: Ich sollte mich in dieses neue Gebiet einarbeiten. Ich habe sehr viele Stunden investiert, komme aber kaum voran. Ich wäre unendlich dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. ( Auch wenn es nur eine Teilaufgabe seien sollte.)

Aufgabe:

Pinguine leben in Kolonien in den kalten Regionen der Südhalbkugel. In einer dieser Kolonien mit ewa 5o ooo Tieren finden Forscher 150 tote Tiere, die offensichtlich an einer bisher unbekannten Krankheit gestorben sind. Erkrankte Pinguine kann man daran erkennen, dass sie kurz nach der Infektion ein auffälliges Verhalten zeigen. An dem Tag, als 150 tote Tiere gefunden wurden, haben die Forscher 800 kranke Tiere gesichtet. Zur Beschreibung der Ausbreitung der Krankheit mit einem Modell teilen die Forscher die gesamte Population von 50 000 Pinguinen in drei Gruppen ein: Gesunde, Kranke und Tote.

Im Vektor

\( \overrightarrow{v_{n}}=\left(\begin{array}{l}G_{n} \\ K_{n} \\ T_{n}\end{array}\right) \)

wird die Verteilung der Gesamtpopulation auf diese drei Guppen am Tag n (nach Ausbruch der Krankheit) notiert. Die einzelnen Komponenten \(G_n, K_n, T_n\) geben jeweils die Anzahl der Pinguine in der betreffenden  Gruppe an. Im Rahmen des Modells gilt der Zusammenhang

\(\overrightarrow{v}_{n+1}=M \cdot \vec{v}_{n}, \) wobei M die folgende Matrix ist:

\( M=\left(\begin{array}{ccc}0,99 & 0,15 & 0 \\ 0,01 & 0,55 & 0 \\ 0 & 0,3 & 1\end{array}\right) \)

a) Beschreiben Sie die Bedeutung der Matrixeinträge im Sachzusammenhang und erstellen Sie den zugehörigen Übergangsgraphen

b) Berechnen Sie mithilfe des Modells die Verteilung der Gesamtpopulation von 50 000 Pinguinen für die ersten beiden Tage nach Ausbruch der Krankheit. Beurteilen Sie, ob das von den Forschem gewählte Modell die Beobachtungen der im Text beschriebenen Pinguinfunde angemessen beschreibt.

c) Bestimmen Sie die zur Matrix M gehörige Grenzmatrix G und beurteilen Sie damit die zukünftige Entwicklung der Pinguinpopulation.

d) Bestimmen Sie die Eigenwerte von M und beurteilen Sie, welche Eigenvektoren im Sachzusammenhang in Frage kommen.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie mithilfe des Modells die Verteilung der Gesamtpopulation von 50000 Pinguinen für die ersten beiden …

Stichworte: eigenwerte,eigenvektoren,matrix,matrixgleichung,populationsentwicklung

Aufgabe: Beispielaufgaben zur analytischen Geometrie (--> Eigenwerte und Eigenvektoren)

Problem/Ansatz: Ich habe Aufgabe a - c lösen können, bin aber bei bei d mehrfach gescheitert. Ich habe es über die Regel von Saurrus versucht und hatte für Lamba 1: 0,  Lambda 2: 0 und Lamba 3: -1/363, dass kann jedoch nicht sein. Danach habe ich es mit dem laplaceschen Entwicklungssatz versucht und konnte ab: Lamba^3 + 1,54*Lamba^2 - 2083/1000*Lamba + 534/1000 nicht mehr weiterrechnen ( Polynomdivison etc. gescheitert. ) Selbst nach vielen versuchen schienen auch die Zwischenschritte nicht wirklich richtig.

Ich muss meine Arbeit morgen abgeben und bin dringend auf Hilfe angewiesen.

Text erkannt:

Pinguine Pinguine leben in Kolonien in den kalten Regionen der Südhalbkugel. In einer dieser Kolonien mit etwa \( 50 ~ 000 \) Tieren finden Forscher 150 tote Tiere, die offensichtlich an einer bisher unbekannten Krankheit gestorben sind. Erkrankte Pinguine kann man daran erkennen, dass sie kurz nach der Infektion ein auffälliges Verhalten zeigen. An dem Tag, an dem 150 tote Tiere gefunden wurden, haben die Forscher 800 kranke Tiere gesichtet. Zur Beschreibung der Ausbreitung der Krankheit mit einem Modell teilen die Forscher die gesamte Population von 50000 Pinguinen in drei Gruppen ein: Gesunde, Kranke und Tote. Im Vektor \( \vec{v}_{n}=\left(\begin{array}{l}G_{n} \\ K_{n} \\ T_{n}\end{array}\right) \) wird die Verteilung der Gesamtpopulation auf diese drei Gruppen am Tag n (nach Ausbruch der Krankheit) notiert. Die einzelnen Komponenten \( G_{n}, K_{n} \) und \( T_{n} \) geben jeweils die Anzahl der Pinguine in der betreffenden Gruppe an. Im Rahmen des Modells gilt der Zusammenhang \( v_{n+1}^{\rightarrow}=M \cdot \vec{v}_{n}, \) wobei M die folgende Matrix ist:
\( M=\left(\begin{array}{ccc}0,99 & 0,15 & 0 \\ 0,01 & 0,55 & 0 \\ 0 & 0,3 & 1\end{array}\right) \)
a) Beschreiben Sie die Bedeutung der Matrixeinträge im Sachzusammenhang und erstellen den zugehörigen Übergangsgraphen.
b) Berechnen Sie mithilfe des Modells die Verteilung der Gesamtpopulation von 50000 Pinguinen für die ersten beiden Tage nach Ausbruch der Krankheit. Beurteilen Sie, ob das von den Forschern gewählte Modell die Beobachtungen der im Text beschriebenen Pinguinfunde angemessen beschreibt.
c) Bestimmen Sie die zur Matrix M gehörige Grenzmatrix G und beurteilen Sie damit die zukünftige Entwicklung der Pinguinpopulation.
d) Bestimmen Sie die Eigenwerte von M und beurteilen Sie, welche Eigenvektoren im Sachzusammenhang in Frage kommen.

---

Guckst du hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvalues+%7B%7B0.99%2C0.15%2C0%7D%2C%7B0.01%2C0.55%2C0%7D%2C%7B0%2C0.3%2C1%7D%7D

---

Ich danke Ihnen. Das Problem ist jedoch, dass ohne Lösungsweg mir das ganze nichts bringt

Answer 1

Ist das deine Präsentationsprüfung?

Kleiner Tipp. Das ist eine abgewandelte Abiklausur von 2013 aus Hamburg.

Arbeite vielleicht zuerst die Musterlösung der alten Abiklausur durch. Das sollte dir schon wesentlich bei dieser Aufgabe helfen.

Comments

Der ,,kleine Tipp´´ hat mit riesig weitergeholfen vielen Dank :)

Ich habe durch den Tipp alle Aufgaben berechnen können, außer Aufgabe d. Ich konnte auch nicht deuten, was die Eigenwerte und Eigenvektoren hier im Sachzusammenhang meinen. Wie wäre d zu rechnen ?