Beweis, dass es für einen zusammenhängenden metrischen Raum keine stetige, nichtkonstante Abbildung f: M -> {0, 1} gibt

Question

Hallo, ich soll zeigen, dass es für einen zusammenhängenden metrischen Raum (M, d) keine stetige, nichtkonstante
Abbildung f: M -> {0, 1} gibt, wobei {0, 1} die Hamming-Metrik trägt.

Als Definition für zusammenhängend eines metrischen Raums (M, d) haben wir, dass für alle offenen Mengen $$U_{1}, U_{2} \subset M \text { gilt: aus } M=U_{1} \cup U_{2} \text { und } \varnothing=U_{1} \cap U_{2} \text { folgt } U_{1}=\varnothing \text { oder } U_{2}=\varnothing.$$

Als erste Überlegung habe ich, dass die Urbilder von 0 und 1 unter f abgeschlossen sind, aber weiter weiß ich leider nicht.

Comments

Du bist schon fast fertig! Wenn die Urbilder von \(\{0\}\) und \(\{1\}\) unter \(f\) abgeschlossen sind, dann sind sie auch offen (wieso?)! Wenn ein Raum zusammenhängend ist, was sind dann die einzigen Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind? Schau dir da noch einmal ganz genau die Definition von Zusammenhang an, \(U_1\) und \(U_2\) in der Definition vom Zusammenhäng wären ja komplementäre Mengen, wenn sie M disjunkt zusammensetzen. Klickt es?

Answer 1

Zusätzlich zum Kommentar gebe ich noch einen anderen Lösungsweg, wenn du es selbst nicht vervollständigt kriegst. Dein Ansatz funktioniert, aber so gehts auch:

Wenn \(f:M\to\{0,1\}\) eine beliebige stetige Abbildung ist, dann sind \(f^{-1}[\{0\}]\) und \(f^{-1}[\{1\}]\) beide offen, denn: Mit \(\varepsilon = 0.5\) bekommst du aus der Stetigkeit von \(f\) für jeden Punkt \(x\in M\) ein \(\delta\), sodass für alle \(y\) mit \(d(x,y)<\delta\): \(d_{\text{Hamm}}(f(x),f(y))<0.5\), insbesondere \(f(x)=f(y)\), also ist eine \(\delta\)-Umgebung von \(x\) im gleichen Urbild wie \(x\). Jetzt wird \(M\) aber disjunkt zerlegt in die offenen Mengen \(f^{-1}[\{0\}]\) und \(f^{-1}[\{1\}]\), aus Zusammenhang folgt, dass eins der beiden Urbilder leer sein muss, \(f\) ist also konstant \(0\) oder konstant \(1\).

Wenn du den Beweis maximal allgemein haben möchtest: Bilder von zusammenhängenden Räumen sind zusammenhängend (das ist eine nette kleine Übung). Der Raum \(\{0,1\}\) mit deiner Metrik ist nicht zusammenhängend, das bedeutet keine stetige Funktion \(f:M\to\{0,1\}\) mit \(M\) zusammenhängend kann surjektiv sein, also bleiben in diesem Fall nurnoch die konstanten Funktionen übrig.