Habe ich meinen Beweis im metrischen Raum richtig geführt?

Question

Hallo, habe ich folgende Aufgabe richtig bewiesen?

Zeigen Sie, dass der innere Kern X^o einer beliebigen Menge X eines metrischen Raumes M offen ist

Text erkannt:

1) \( \operatorname{sei} x^{\circ}=x \)
\( x^{\circ}=x \quad \Leftrightarrow \quad x \) offen, \( d . h \) alle Punkte von \( x \) sind innere Punkte da \( x=x^{o} \Rightarrow x^{o} \) offen

Comments

Du hast eigentlich grnichts bewiesen außer, dass der innere Kern
der innere Kern ist.

Wie ist denn \(X^o\) bei euch definiert?

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Wir haben dazu nur das stehen:

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Die Sache, auf die du reingefallen bist, ist, dass du davon

ausgegangen bist, dass "innerer Punkt von \(X\)" dasselbe bedeutet

wie "innerer Punkt von \(X^o\) ".

Gebe dir etwas später eine Lösung ...

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Okay, vielen Dank :)

Answer 1

Hallo

nein, du hast nix bewiesen

Du musst die Definition von 1. offen, 2, innerer Punkt bzw innerer Kern benutzen.

Gruß lul

Answer 2

Offenheit von \(X^o\) bedeutet, dass es zu jedem \(x\in X^o\)

ein \(\delta>0\) geben muss, so dass \(U_{\delta}(x)\subset X^o\) ist.

Nun bedeutet \(x\in X^o\), dass es ein \(\epsilon>0\) gibt mit

\(U_{\epsilon}(x)\subset X\). Wir machen mal den Ansatz \(\delta=\epsilon/2\).

Kommst du damit vielleicht schon weiter ? Wesentlich ist dabei

die Dreiecksungleichung der Metrik.

Eine Skizze ist dabei sehr nützlich

Comments

Hallo Ermanus,

leider komme ich hier überhaupt nicht weiter mit der Information..

Ich verstehe auch gar nicht warum

\(\delta=\epsilon/2\)..

Kannst du mir vielleicht noch einen kleinen Anstoß geben?