Funktion zum Gradienten

Question

Aufgabe:

Entscheide ob es partiell differenziertere Funktionen auf ℝ² bzw. ℝ³ gibt mit grad f(x,y) = \( \begin{pmatrix} x+y\\-x+y \end{pmatrix} \)  bzw. grad f(x,y,z) = \( \begin{pmatrix} yz\\xz\\xy \end{pmatrix} \). Bestimme gegebenenfalls ein solches f.

Problem/Ansatz:

Als Hinweis gibt es den Vermerk, dass das Lemma von Schwarz hilfreich sein soll. Leider verstehe ich den Zusammenhang zwischen den Lemma von Schwarz, also die Vertauschbarkeit der Differentationsreihenfolge, und dem Gradienten nicht. Beim Gradienten betrachte ich ja nur die ersten partiellen Ableitungen und nicht mehrere Ableitungen.

Answer 1

Aloha :)

Damit ein Vektorfeld ein Gradientenfeld ist, muss die Integrabilitätsbedingung erfüllt sein.

Im \(\mathbb R^2\) bedeutet dies:$$\partial_xf_y=\partial_yf_x$$Im \(\mathbb R^3\) entsprechend:$$\partial_xf_y=\partial_yf_x\quad;\quad\partial_xf_z=\partial_zf_x\quad;\quad\partial_yf_z=\partial_zf_y$$Du kannst das zusammenfassen, dass die Rotation des Vektorfeldes verschwinden muss.

$$\operatorname{rot}\begin{pmatrix}x+y\\-x+y\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x+y\\-x+y\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1-1\end{pmatrix}\ne\vec 0\quad\text{FAIL}$$$$\operatorname{rot}\begin{pmatrix}yz\\xz\\xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}yz\\xz\\xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-x\\y-y\\z-z\end{pmatrix}=\vec 0\quad\checkmark$$Nur das zweite Vektorfelder ist also ein Gradientenfeld. Die passende Potential-Funktion sieht man sofort:$$\varphi(x,y,z)=xyz$$