Es seien \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{2 x+1}{y} & \text { für } y \neq 0, \\ 0 & \text { für } y=0 \end{array} \quad \text { und } \quad g(x, y)=x^{2}-2 x+y^{2}+4 y+5\right. \)
a) Bestimmen Sie den Gradienten \( \operatorname{grad} f(x, y) \) für \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) mit \( y \neq 0 \) sowie den Gradienten \( \operatorname{grad} g(x, y) \) fir alle \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \).
b) Berechnen Sie grad \( f(x, y) \) für alle Punkte
\( (x, y) \in M_{f}:=\{(0,2),(0,-1),(1 / 2,1),(-1 / 2,3)\} . \)
Erstellen Sie eine Skizze, in die Sie die Vektorpfeile zu grad \( f(x, y) \), startend in \( (x, y) \), einzeichnen. Zeichnen Sie in diese Skizze auch noch einmal die Niveau-Mengen \( N_{c} \) für \( c=-2, c=-1, c=0, c=1 \) und \( c=2 \) ein
c) Berechnen Sie grad \( g(x, y) \) für alle Punkte \( (x, y) \in M_{g} \) mit
\( M_{g}:=\{(1,0),(0,-2),((2+\sqrt{2}) / 2,(-4+\sqrt{2}) / 2),(3 / 2,-2)\} . \)
Erstellen Sie eine Skizze, in die Sie die Vektorpfeile zu grad \( g(x, y) \), startend in \( (x, y) \), einzeichnen. Zeichnen Sie in diese Skizze auch noch einmal die Niveau-Mengen \( N_{c} \) für \( c=0, c=1 / 4, c=1, c=4 \) und \( c=9 \) ein
