Bestimmen Sie den Gradienten.

Question

Es seien $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ und $g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{2 x+1}{y} & \text { für } y \neq 0, \\ 0 & \text { für } y=0 \end{array} \quad \text { und } \quad g(x, y)=x^{2}-2 x+y^{2}+4 y+5\right.$

a) Bestimmen Sie den Gradienten $\operatorname{grad} f(x, y)$ für $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$ mit $y \neq 0$ sowie den Gradienten $\operatorname{grad} g(x, y)$ fir alle $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$.

b) Berechnen Sie grad $f(x, y)$ für alle Punkte
$(x, y) \in M_{f}:=\{(0,2),(0,-1),(1 / 2,1),(-1 / 2,3)\} .$
Erstellen Sie eine Skizze, in die Sie die Vektorpfeile zu grad $f(x, y)$, startend in $(x, y)$, einzeichnen. Zeichnen Sie in diese Skizze auch noch einmal die Niveau-Mengen $N_{c}$ für $c=-2, c=-1, c=0, c=1$ und $c=2$ ein

c) Berechnen Sie grad $g(x, y)$ für alle Punkte $(x, y) \in M_{g}$ mit
$M_{g}:=\{(1,0),(0,-2),((2+\sqrt{2}) / 2,(-4+\sqrt{2}) / 2),(3 / 2,-2)\} .$
Erstellen Sie eine Skizze, in die Sie die Vektorpfeile zu grad $g(x, y)$, startend in $(x, y)$, einzeichnen. Zeichnen Sie in diese Skizze auch noch einmal die Niveau-Mengen $N_{c}$ für $c=0, c=1 / 4, c=1, c=4$ und $c=9$ ein

Comments

Hallo

weisst du nicht was grad ist? kannst du nicht nach x und y ableiten? Was genau kannst du nicht?

lul

---

Hallo Thomas,

ich habe Dir die Höhenlinien (rot) für $f$, wie im Aufgabenteil b) gefordert, in Desmos eingegeben.

Die blauen Strecken sind die Vektorpfeile an den vier Punkten aus $M_f$. Wenn Du den schwarzen Punkt mit der Maus verschiebst, wird sein Gradient aktualisiert. Probier's mal aus!

Answer 1

f(x,y) = (2·x + 1)/y = 2·x/y + 1/y

Gradient

f'(x,y) = [2/y , -(2·x + 1)/y²]

Versuche das mal nachzuvollziehen und probiere dann g(x,y) zunächst alleine.