Wahrscheinlichkeit für eine zweidimensionale Verallgemeinerung

Question

Aufgabe \( 3^{*}(4 \text { Punkte }): \) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine zweidimensionale Verallgemeinerung der Fragestellung aus Aufgabe 4 des \( 5 . \) Übungsblattes.

Das bezieht sich auf:

Aufgabe \( 4(3 \text { Punkte }): \) Aus einem Intervall \( [a, b] \) werde zufällig ein Punkt gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Punkt näher am Mittelpunkt des Intervalls als am Rand liegt?

Problem:

Ich weiß nicht wie ich das machen soll. Ich habe die Aufgabe vorher leider auch nicht allzu gut verstanden.

Answer 1

Die ursprüngliche Aufgabe (mit dem eindimensionalen Intervall [a,b]) ist ganz einfach. Die Menge der Punkte, die näher am Mittelpunkt als am Rand des Intervalls liegen, bilden ein halb so langes, zentriertes Intervall in der Mitte des gegebenen Intervalls. Bei Gleichverteilung ist demnach die gesuchte Wahrscheinlichkeit einfach  1/2 .

Für eine zweidimensionale Variante könnte man als Grundmenge ein Rechteck der Form [a,b] × [c,d] betrachten und nun für einen beliebigen Punkt P in diesem Rechteck dessen Abstand vom Rechtecksmittelpunkt mit seinem kleinsten Abstand von der Umfangslinie des Rechtecks vergleichen. Letzterer Abstand fällt stets rechtwinklig auf eine der Rechtecksseiten.

So kommt man zunächst auf folgende Geometrieaufgabe:

Beschreibe geometrisch die Menge der Punkte P im Inneren eines vorgegebenen Rechtecks, deren Distanz vom Rechtecksmittelpunkt gleich groß ist wie deren (kürzester) Abstand von der Umfangslinie des Rechtecks.

Das Ergebnis dieser Aufgabe wäre dann die Umfangslinie des gesuchten flächigen Gebietes.

Nach meinen Überlegungen ist die gesuchte Randkurve aus Parabelbögen zusammengesetzt.