ich bin gerade dabei, diese Aufgaben zu lösen aber habe da irgendwie keinen richtigen Einstieg zu gefunden:
Sei \( K \) ein Körper und U ein Untervektorraum \( U \subseteq K[T] \) Für \( a \in K[T] \) sei
$$ U_{a}:=\{b \in K[T] ; a \text { teilt } b\} $$
Zu zeigen:
(1) Für jedes a aus K[T] \) ist \( I_{p} \) ein Ideal.
(2) Für alle a, b aus K[T] gilt: \( a \) teilt \( b \Leftrightarrow I_{b} \subseteq I_{a} \)
(3) Ist \( I \subseteq K[T] \) ein Ideal, sogint es ein \( a \in K[T] \) mit \( U_{a}=U \)
Bis jetzt habe ic nur zu der (1) einen Ansatz. ich wollte zeigen, dass der ggT=1 sein muss und der Schnitt der Elemente aus K[T] dann ∅ entspricht.
Bin ich da auf der richtigen Fährte bzw. könntet ihr mir vielleicht sagen, was bei der 2 und 3 zu tun ist?
MfG
Frage12345
Text erkannt:
Sei \( K \) ein Körper. Ein Untervektorraum \( I \subseteq K[T] \) heißt Ideal, falls für alle \( p \in K[T] \) und \( q \in I \) gilt: \( p q \in I . \) Für \( p \in K[T] \) sei
$$ I_{p}:=\{q \in K[T] ; p \text { teilt } q\} $$
die Menge der Polynome, die Vielfache von \( p \) sind. Zeigen Sie:
(a) Für alle \( p \in K[T] \) ist \( I_{p} \) ein Ideal.
(b) Für alle \( p, q \in K[T] \) gilt: \( p \) teilt \( q \Leftrightarrow I_{q} \subseteq I_{p} \)
(c) Ist \( I \subseteq K[T] \) ein Ideal, so existiert ein \( p \in K[T] \) mit \( I_{p}=I \)
