Bestimmen Sie die Funktion, die im Ursprung einen Wendepunkt mit der

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar f ( x ) =
a x/b + c x^2

mit a, b , c ∈ ℝ und a ≠

a) Bestimmen Sie die Funktion, die im Ursprung einen Wendepunkt mit der
Wendetangente yT = x hat und an der Stelle x = √ 2 eine Polstelle besitzt.

Answer 1

Vermutlich meinst du \(f ( x ) = \dfrac{a x}{b + c x^2}\)

Polstelle bei \(\sqrt 2\) bedeutet, dass der Nenner für \(x=\sqrt 2\) gleich Null sein muss.

\(b+c\cdot2=0\Rightarrow b=-2c\)

Einen der drei Parameter a, b und c darf man beliebig wählen; deshalb sei c=-1, dann ist b=2.

$$ f(x)=\dfrac{ax}{2-x^2} \Rightarrow f'(x)=\frac{a (2 + x^2)}{(-2 + x^2)^2} $$

Die Steigung der Tangente im Ursprung hat die Steigung 1, also:

$$1=f'(0)=\frac{a (2 + 0^2)}{(-2 + 0^2)^2}=0,5a\Rightarrow a=2 $$

Nun musst du noch nachweisen werden, dass im Ursprung ein Wendepunkt vorliegt.
$$ f(x)=\dfrac{2x}{2-x^2}$$

https://www.desmos.com/calculator/qjl9yfk9bm

Comments

Bitte Warum C=-1

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Du kannst jede beliebige Zahl außer Null wählen. Ich habe c=-1 gewählt, weil die Werte für a und b dann angenehm sind.

Wenn du c=1 wählst, sind a und b gleich -2 usw.

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b+c⋅2=0⇒b=−2c
Einen der drei Parameter a, b und c darf man beliebig wählen; deshalb sei c=-3, dann ist b=6.

f(x)=ax/6−3x^2⇒f′(x)=a(6+3x^2)/(6-3x^2)2
Die Steigung der Tangente im Ursprung hat die Steigung 1, also:

1=f′(0)=a(6+3.0^2)/(6-3.0^2)^2=a/6⇒a=6??

Egal!!

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Richtig.

a=b=-2c

c=-123 → a=b=246     :-)

Answer 2

 Die Funktionenschar f ( x ) =a·x/b + c·x² besteht aus Parabeln. Diese haben keinen Wendepunkt und keine Polstellen.