Interessante Aufgabe zum Lösen

Question

ich brauche eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe...

Ein Gummiball fällt aus einem Meter Höhe senkrecht nach unten und von dem er wieder senkrechtin die Luft abspringt, bevor er wieder zu Boden fällt. Bei jedem dieser Sprünge iegt er genau ein Drittel so hoch, wie im vorherigen Sprung. Wie lange ist der Weg, den der Gummiball dabei zurücklegt, vorausgesetzt, er kann unendlich lange hüpfen?

Comments

vorausgesetzt, er kann unendlich lange hüpfen?

Besser : Teilaufgabe b)  :  Wie lange hüpft er ?

Answer 1

Aloha :)

$$S=1+2\cdot\frac{1}{3}+2\cdot\frac{1}{9}+2\cdot\frac{1}{27}+\cdots$$$$\phantom{S}=\left(\frac{1}{3}\right)^0+2\left(\frac{1}{3}\right)^1+2\left(\frac{1}{3}\right)^2+2\left(\frac{1}{3}\right)^3+\cdots$$Der Faktor 2 kommt daher, dass der Ball hoch- und wieder runterfällt. Am Anfang wird er allerdings nur fallengelassen, deswegen steht vorne kein Faktor \(2\).$$S=1+2\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{3}\right)^n=2\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{3}\right)^n-1=2\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}-1=\frac{2}{\frac{2}{3}}-1=2$$Der Ball legt eine Strecke von \(2\,\mathrm m\) zurück.

Comments

Bist ein Lebensretter!

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hi,wie kommst du auf die Vereinfachnung mit den Bruchstrichen?
Lg

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Meinst du die folgende Rechnung?$$2\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}-1=\frac{2}{\frac{3}{3}-\frac{1}{3}}-1=\frac{2}{\frac{2}{3}}-1=2\cdot\frac{3}{2}-1=3-1=2$$

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ja genau, berechnest du so zusagen den Grenzwert?

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Ja, das ist der Grenzwert der geometrischen Reihe mit \(q=\frac{1}{3}\):$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad;\quad |q|<1$$