Lösungsweg Potenz komplexe Zahl

Question

Aufgabe: Berechne die folgende Potenz, geben Sie das Ergebnis in der arithmetischen Form  +j  an

\( (1+2 j)^{3} \)

Problem/Ansatz: Habe es versucht mit folgender Formel zu lösen:

\( z^{n}=r^{n} \cdot(\cos n \varphi+\mathrm{j} \cdot \sin n \varphi) \)

Mein Ergebnis dabei ist: 25(-1+0j) =-25 ; das Ergbenis ist aber laut dem Lösungsbuch falsch und müsste -11-2j lauten. Kann mir bitte jemand den richtigen Lösungsweg erklären? Vielen dank im voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Hier würde ich einfach eine binomische Formel verwenden:$$(1+2i)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot(2i)+3\cdot1\cdot(2i)^2+(2i)^3=1+6i+12i^2+8i^3$$$$=1+6i-12-8i=-11-2i$$

Dein Weg über Polarkoordinaten wäre auch gegangen, ist aber umständlicher, weil die Zahlen während der Rechnung so "krumm" sind:$$(1+2i)^3=\left(\sqrt{5}e^{i\arctan(2)}\right)^3=\left(\sqrt5\right)^3e^{i\,3\arctan(2)}$$$$=5\sqrt5\left(\cos(3\arctan(2)+i\sin(3\arctan(2)\right)$$$$=\underbrace{5\sqrt5\cos(3\arctan(2)}_{=-11}+i\,\underbrace{5\sqrt5\sin(3\arctan(2))}_{=-2}=-11-2i$$

Comments

Danke dir für den Tipp :)